기본 기본 함수
1. 지수 함수
(1) 지수 및 지수 거듭제곱의 연산
1. : 일반적으로 이면 n번째 근이라고 하며, 여기서 gt; 1, ∈ *입니다.
홀수인 경우 양수의 제곱근은 양수이고, 음수 의 제곱근은 음수이다. 이때, 의 제곱근을 기호로 표현하는 것을 근수(radical)라고 하는데, 여기서는 근수지수(radical expont)라고 부르는데, radicand(라디칸드)라고 합니다.
< p>짝수일 때 양수의 제곱근이 두 개가 있는데, 이 두 숫자가 서로 반대가 되는 숫자가 양의 제곱근이 됩니다. 양수는 기호로 표시되고 음수 제곱근은 기호 -로 표시됩니다. 양수 제곱근과 음수 제곱근은 ±(gt; 0)으로 결합될 수 있습니다. 음수의 제곱근도 0의 제곱근은 0이며 로 기록됩니다.참고: 홀수인 경우, 짝수인 경우
2. 분수 지수의 거듭제곱의 의미 양수의 지수는 다음과 같이 규정됩니다:
1. 0의 양의 분수 지수는 0과 같습니다.
2. 0의 음의 분수 지수는 의미가 없습니다.
지적합니다: 분수 지수 거듭제곱에 대한 공식이 지정된 후 지수의 개념이 정수 지수에서 유리수 지수로 확장되면 정수 지수 거듭제곱의 연산 속성도 유리수 지수로 확장될 수 있습니다. 거듭제곱.
3. 실수 지수 거듭제곱의 연산 속성
(2) 지수 함수와 그 속성
1. 일반적으로 , 함수를 지수 함수(exponential)라고 하며, 여기서 x는 독립 변수이고 함수의 정의역은 R입니다.< /p>
참고: 지수 함수의 밑의 범위는 음수가 될 수 없습니다. 0 또는 1.
2. 지수 함수의 이미지 및 속성
1 , agt 1
2, 0
3. x축과 y축의 양수 방향과 음수 방향으로 무한히 확장합니다.
4. 함수의 정의역은 R
p>5입니다. 그래프는 원점을 기준으로 비대칭입니다. y축
6. 홀수 및 짝수가 아닌 함수
7. 함수 그래프는 모두 x축 위에 있습니다.
8 함수의 값 범위는 R
9입니다. 함수의 그래프는 모두 고정점(0, 1)을 통과합니다.
왼쪽에서 오른쪽으로 보면 그래프가 점차적으로 나타납니다.
왼쪽에서 오른쪽으로 보면 이미지가 점차 감소합니다.
증가 함수, 감소 함수
첫 번째 사분면 이미지의 세로 좌표는 모두 1보다 큽니다.
첫 번째 사분면 이미지의 세로 좌표는 모두 1보다 작음
두 번째 사분면에 있는 이미지의 세로 좌표가 모두 1보다 작습니다
두 번째 사분면에 있는 이미지의 세로 좌표가 모두 1보다 큽니다
그림의 상승 추세는 점점 더 느려지고 있습니다.
함수 값은 천천히 증가하기 시작하여 특정 값에 도달한 후에 증가합니다. 매우 빠릅니다;
함수 값은 매우 빠르게 감소하기 시작하고 특정 값에 도달한 후에는 감소 속도가 느려집니다.
참고: 함수의 단조성을 사용하면 이미지와 결합하여 볼 수도 있습니다:
2. 로그 함수
(1) 로그
1. 일반적으로 if, then 숫자를 밑이 있는 로그라고 하며 다음과 같이 기록됩니다. ( — 밑, — 실수, — 로그)
설명:
1) 밑의 제한 사항에 주의하세요. , 그리고;
2) 로그 작성 형식에 주의하세요.< /p>
2. 두 가지 중요한 로그:
1 상용 로그: 밑이 10인 로그;
2 자연 로그: 무리수를 밑으로 함 로그의 로그 >
로그 ← → 지수
실수 ← → 거듭제곱
(2 ) 로그의 연산 속성
참고: 밑수 변경 공식
p>다음 결론(1)을 도출하려면 밑수 변경 공식을 사용하세요.
< p>(2) 로그 함수1. 로그 함수의 개념: function 이라고 하며, 여기서 는 독립변수이고 함수의 정의역은 (0, )입니다.
참고:
1) 로그 함수의 정의는 지수 함수와 유사하며 모두 형식적인 정의이므로 구별에 주의하시기 바랍니다.
예: , 은 로그 함수가 아니지만 로그 함수로만 호출할 수 있습니다.
2) 로그 함수 기반에 대한 제한 사항: , 및.
< p>2. 로그 함수의 속성:agt;1
함수의 속성
1 함수 그래프는 모두 y의 오른쪽에 있습니다. -axis
2 함수의 정의역은 (0, )입니다.
3 이미지는 원점과 y축에 대해 비대칭입니다.
4 Non -홀수 및 짝수가 아닌 함수
5는 y축의 양수 및 음수 방향으로 무한히 확장됩니다.
6 함수의 값 범위는 R입니다.
< p>7. 함수의 그래프는 모두 고정점(1,0)을 통과합니다< p>왼쪽에서 오른쪽으로 보면 이미지가 점차 커집니다왼쪽에서 오른쪽으로 보면, 이미지가 점차 감소합니다
증가 기능
감소 기능
첫 번째 사분면 이미지의 세로 좌표가 모두 0보다 큽니다.
첫 번째 사분면에 있는 이미지의 세로 좌표는 모두 0보다 큽니다
두 번째 사분면에 있는 이미지의 세로 좌표는 모두 0보다 작습니다
두 번째 사분면에 있는 이미지의 세로 좌표는 모두 0입니다. 사분면은 모두 0보다 작습니다.
(3) 거듭제곱 함수
1. 거듭제곱 함수의 정의: 일반적으로 다음과 같은 형태로 나타납니다. 함수를 거듭제곱 함수라고 하며, 여기서 는 상수입니다. .
2. 거듭제곱 함수의 속성 유도.
(1) 모든 거듭제곱 함수는 (0, )로 정의되며, 모든 객체가 다음을 통과할 때 그림은 다음과 같습니다. 점 (1, 1);
(2)에서 멱함수 그래프는 원점을 통과하며 구간에서 증가하는 함수입니다. 특히, 이때 멱함수 그래프는 다음과 같습니다. ;이 때 거듭제곱 함수의 그래프는 볼록합니다.
(3)일 때, 거듭제곱 함수의 그래프는 제1사분면에서 감소하는 함수입니다. 오른쪽에서 원점으로 이동하면 그래프가 축의 오른쪽으로 무한히 축의 양의 반축에 접근합니다. 접근하면 이미지가 축의 양의 반축에 무한히 접근합니다.
제3장 함수의 응용
1. 방정식의 근과 함수의 영점
1. 함수의 영점 개념: 함수의 경우 실수는 참인 것을 함수의 0이라고 합니다.
2. 함수의 영점의 의미: 함수의 영점은 방정식의 실근, 즉 함수 그래프와 축의 교차점의 가로좌표입니다. . 즉,
방정식의 실수근을 갖는 함수의 그래프가 축과 교차하고 함수에 영점이 있습니다.
3. 함수:
함수의 영점 찾기:
1(대수적 방법)은 방정식의 실제 근을 찾습니다.
2(기하학적 방법); 근 찾기 공식을 사용할 수 없는 방정식의 경우 함수의 그래프와 관련될 수 있으며 함수의 속성을 사용하여 영점을 찾을 수 있습니다.
4. 이차 함수:
이차 함수.
1) △gt; 0, 방정식에는 두 개의 서로 다른 실수 근이 있고, 이차 함수의 그래프에는 축과 두 개의 교차점이 있습니다. 이차 함수에는 두 개의 영점이 있습니다.
2) △=0, 방정식에는 두 개의 동일한 실수 근(두 개의 다중 근)이 있고, 이차 함수의 그래프에는 축과 교차점이 있으며, 이차 함수에는 이중 영점 또는 2차 영점이 있습니다.
3) △lt; 0, 방정식에는 실수 근이 없고 이차 함수 그래프에는 축과 교차점이 없으며 이차 함수는 함수에는 영점이 없습니다.
삼각함수와 역삼각함수
이것은 기하학에서 유래한 가장 간단한 초월함수입니다. 고급해석에서 각도를 측정하는 방법은 소위 라디안법(radian method)으로, 단위 원주 위의 호분과 대응하는 중심각을 측정하는 방식이다. 삼각 함수는 sinx, cosx 및 그 파생물이며 해당 정의는 그림 1에 나와 있습니다. x=0에서 sinx와 cosx의 테일러 전개는 다음과 같습니다. (2) (3) 수렴 반경은 다음과 같습니다. sinx, cosx, tanx, cotx, secx 및 cosecx의 역함수는 각각 arcsinx, arccosx, arctanx, arccotx, arcsecx, arccosecx입니다(또는 sin-1x, cos-1x, tan-1x, cot-1x, sec-로 기록됨). 1x , cosec-1x),
기본 함수 그래픽
을 역삼각함수라고 합니다. 지수 및 로그 함수 α가 양수라고 가정하면 y=αz는 α를 밑으로 하는 지수 함수를 나타냅니다(그림 2). 역함수 y=logαx는 α를 밑으로 하는 로그 함수라고 합니다(그림 3). 특히 α=e, y=ez(or expx), y=logαx=lnx(또는 logx)일 때 지수함수, 로그함수라고 부른다. Logx는 쌍곡선, 아래의 t축, 왼쪽과 오른쪽의 두 직선 t=1 및 t=x로 둘러싸인 영역을 나타내는 다음 적분 공식으로 정의할 수 있습니다. 양의 실수 축에서 x가 변경되면 y=logx는 실수 축의 값을 취하고 log1=0을 취하는 것을 볼 수 있습니다. 이는 도함수인 x의 증가 함수입니다. 또한, logx는 덧셈정리, 즉 log(x1·x2)=logx1logx2를 만족한다.
대수 함수의 역지수 함수
ex는 양의 실수 값을 취하는 실수 축에 정의된 증가 함수이며 e0=1입니다. ex의 파생어는 그 자체와 동일합니다. 게다가, ex는 곱셈 정리를 만족합니다. x=0에서 ex의 테일러 전개는 다음과 같습니다.
쌍곡선 함수 및 역쌍곡선 함수
쌍곡선 함수는 유리 연산을 통해 지수 함수에서 파생될 수 있습니다.
기본 함수
숫자 . 그 속성은 삼각 함수와 매우 유사하며 sinhx, coshx, tanhx, cothx, sechx 및 cosechx로 표시됩니다. 해당 정의는 각각 쌍곡선 사인(그림 4) 및 쌍곡선 코사인(그림 5)이라고 합니다. 삼각함수와 마찬가지로 쌍곡선 탄젠트(그림 6) tanhx=sinhx/coshx, 쌍곡선 코탄젠트(그림 7) cothx=coshx/sinhx 등에서 파생되는 것을 쌍곡선 함수라고 합니다. 그들은 다음과 같은 기하학적 해석을 가지고 있습니다. 즉, 쌍곡선 x2-y2=1(xgt;0) 위의 점 M을 취하고 O를 원점 N=(1,0)으로 두고 ON, OM 및 다음을 결합합니다. 주변 면적은 θ/2로 기록되고, 점 M의 좌표는 θ의 함수로 간주되어 coshθ와 sinhθ로 기록된다. 즉 식(5)이다.
기본 함수 기본 함수 기본 함수 복소변수의 기본 함수 정의역이 복소수의 정의역인 기본 함수입니다.
유리 함수, 거듭제곱 함수 및 근호 함수
두 복소 계수의 다항식 비율은 확장된 복소 평면을 자체적으로 분석적으로 매핑하는 유리 함수입니다. 분수 선형 함수는 복잡한 해석에서 중요한 의미를 갖는 특별한 유리 함수입니다. 또 다른 특별한 경우는 거듭제곱 함수 w=zn이고, n은 자연수이며,
기본 함수
전체 평면에서 분석적이며, 따라서 n≥2일 때 z=0을 제외한 전체 평면의 모든 곳에서 정사각형 매핑(등각 매핑)을 구현합니다. 원주 丨z丨 = r을 원주 |w|=rn으로 변경하고 광선 argz=θ를 광선 argw=nθ로 변경합니다. 어떤 영역에서든 영역 내 두 점 사이의 각도 차이가 2π/n 미만이면 w=zn인 단일 리프 영역입니다. 거듭제곱 함수 w=zn의 역함수는 분기라고 불리는 n 값(k=0, 1,..., n-1)을 갖는 근호 함수입니다. 그들은 모든 영역 θ1z lt; θ1 2π에서 일률적으로 분석적이며 이 영역을 영역으로 바꿉니다. 그들의 파생물은 다음과 같습니다.
지수 함수와 로그 함수
지수 함수 방정식 (4)에서 x를 복소 변수 z로 바꾸면 복소 변수의 지수 함수 w=ez를 얻게 됩니다. 그리고 당연히 그렇습니다(k는 정수입니다). 복소수 지수 함수는 실수 지수 함수와 유사한 속성을 갖습니다. ez는 적분 함수이고 임의의 복소수 z에 대해 ez≠0입니다. ez는 2kπi의 주기를 갖습니다. 그 자체와 동일합니다. 즉 . w=ez 함수는 전체 평면에서 *** 모양의 매핑을 구현합니다. 모든 영역은 해당 영역에 있는 두 점의 허수부 간의 차이가 2π 미만인 한 ez의 단일 리프 영역입니다. 예를 들어, 지수 함수는 직선 x=x0을 원으로, 직선 y=y0을 광선 argw=y0으로 바꾸어 면적 Sk를 면적 0w lt로 바꾸고 스트립 면적 α0lt를 너비로 바꿉니다. β0 β( β≤2π)는 β의 개구부를 갖는 각도 도메인 α0wlt가 됩니다. 로그함수 w=Lnz는 지수함수 ez의 역함수로 2kπ)(k는 정수)라는 무한한 값을 가지며, 이를 분기라고 한다. 각 분기는 θ0zlt 영역에서 분석적이며, 로그 함수는 이 영역을 띠 모양의 영역 θ0w lt; β0β; 특히 (Lnz)0=Lnz는 복소체에서 실수 로그 함수 lnz를 일반화한 것입니다. 실수 로그 함수와 마찬가지로 이는 0이 아닌 두 복소수 z1 및 z2에 대한 덧셈 정리를 충족합니다.