고교 수학 필수과목 5 "불평등 관계와 불평등"을 위한 교수 계획 1
전체 설계
교수 분석
연구 이 수업은 중학교 부등식 학습의 연장이자 확장이며, 또한 실수 이론의 발전이기도 합니다. 이 수업의 학습 과정에서 학생들은 실수와 수학의 기본 이론을 기억할 수 있습니다. 실수의 기본 이론을 사용하여 두 대수식의 크기를 비교할 수 있습니다.
이 수업을 통해 학생들은 현실 세계에는 불평등한 관계가 많다는 것을 느낄 수 있습니다. 일련의 특정 문제 상황에서 일상 생활을 이해하고 불평등 관계의 존재를 완전히 이해하고 적용합니다. 불평등이나 불평등 그룹을 사용하여 이러한 불평등 관계를 표현할 수 있습니다.
이 수업의 학습 과정에서는 학생들이 쉽게 다룰 수 있는 몇 가지 간단한 문제도 정리되어 있습니다. 수학적 지식과 방법을 적용함과 동시에 학생들의 학습에 대한 흥미를 자극하고 진정으로 유용한 결과를 창출하기 위해 수학적 도구를 사용하여 불평등 관계를 연구하려는 욕구. 실수의 기본 이론을 익히고 실수의 기본 이론을 사용하여 두 대수식의 크기를 비교할 수 있습니다.
이 교육 섹션에서 교사는 학생들에게 다음 예제를 읽도록 요청할 수 있습니다. 이 책에서는 숫자와 도형을 결합하는 간단한 도구인 숫자축을 최대한 활용하고 실수와 숫자축의 점 사이의 일대일 대응을 직접 사용하여 숫자와 도형 모두에서 실수의 순서를 설정합니다. . 관계. 과거를 되돌아보고 새로운 것을 배우는 것을 바탕으로 학생들의 불평등에 대한 이해를 높이는 것이 필요합니다.
3차원적 목표
1. 학생들의 부등식 이해, 수직선을 사용하여 실수의 기본 이론을 상기하고, 실수의 크기 사이의 관계를 이해하고, 실수의 크기와 숫자 축의 해당 점 위치 사이의 관계를 이해합니다. /p>
2. 차이법을 사용하여 실수와 대수식의 크기를 판단할 수 있고, 일치법을 사용하여 이차식의 크기를 판단할 수 있습니다. 크기와 범위
3. 과거를 복습하고 새로운 것을 학습함으로써 학생들의 불평등에 대한 이해를 높이고, 학습에 대한 학생들의 흥미를 자극하며, 수학의 신비와 수학의 구조적 아름다움을 경험해보세요.
요점과 어려움
p>교육 초점: 실수와 대수식의 관계를 비교하고 이차식의 크기와 범위를 결정합니다.
교육 난이도: 두 대수식의 크기를 정확하게 비교합니다. >
수업 구성
1 수업 시간
교육 과정
새로운 수업 소개
아이디어 1. (챕터 소개 머리글 그림) 멀티미디어를 통해 위성을 표시하고, 우주선과 겹쳐지고 기복이 심한 산의 장엄한 그림을 통해 학생들을 자연과 측면의 능선, 측면의 봉우리처럼 보이고 가깝고 먼 높이가 다른 자연과 광활한 우주로 안내합니다. 학생들은 현실 세계와 일상 생활에서 관계가 많이 존재하므로 불평등 관계를 연구하기 위해 수학을 사용하려는 강한 욕구가 생기고 자연스럽게 새로운 교훈을 얻게 됩니다.
아이디어 2. (상황 소개) 학생 명단을 나열하십시오. 키, 몸무게, 학교까지의 거리, 100m 경주 시간, 수학 점수 등 실생활에서 학생들에게 친숙한 예는 양적 불평등 관계를 설명합니다. 이러한 불평등을 수학에서는 어떻게 표현하는가? 교사는 불평등한 관계에 관한 관련 자료를 정리하여 학생들이 불평등한 관계를 느낄 수 있도록 하고, 마찬가지로, 현실 세계와 일상 생활에서도 이러한 현상이 많이 발생합니다. 이런 식으로 학생들은 수학적 도구를 사용하여 불평등 관계를 연구하고 추가 탐구 학습에 들어가고자 하는 열망을 갖게 됩니다.
새로운 수업 홍보
새로운 지식 탐구
질문하기
1. 중학교에서 배운 불평등을 회상합니다. 그리고 학생들에게 "불평등 관계"와 "불평등"의 차이점을 말하게 하세요. 불평등 관계를 연구하고 표현하기 위해 불평등을 사용하는 방법
?2? 동일한 관계와 다수의 불평등 관계가 있습니다. 몇 가지 실제적인 예를 들어주실 수 있나요?
?3 숫자 축의 두 점과 해당 두 실수 사이의 관계는 무엇입니까?
4. 두 실수 사이의 관계는 무엇입니까? 이 관계를 논리적인 용어로 표현하는 방법은 무엇입니까?
활동: 교사는 학생들이 3학년 때 배운 불평등의 개념을 기억하도록 안내합니다. ``불평등 관계''와 '불평등'의 유사점과 차이점을 학생들이 이해할 수 있도록 불평등 관계는 관계를 강조하며 ?>?b?a
로 표현되는 2개 교사와 학생은 일상생활에서 불평등한 관계의 예를 제시하여 학생들이 충분히 협력하고 토론할 수 있도록 하며 학생들이 많다고 느끼게 합니다. 학생들이 일부 불평등을 이해한 후, 실제 배경을 전제로 불평등과 관련된 내용을 더 연구합니다.
예 1: 특정 날짜의 일기 예보에 따르면 최대 온도는 32℃이고 최소 온도는 26℃입니다.
예 2: 숫자 축의 서로 다른 두 지점 A와 B에 대해 지점 A가 지점 B의 왼쪽에 있으면 xA < /p>
예 3: 숫자가 음수가 아닌 경우 숫자는 0보다 크거나 같습니다.
예 4: 두 점 사이의 가장 짧은 선분
예 5: 삼각형의 두 변의 합은 세 번째 변보다 크고, 두 변의 차이는 세 번째 변보다 작습니다.
예 6: 다음이 포함된 도로 표지판. 40km/h의 속도 제한은 운전자에게 전방 도로에서 운전할 때 40km/h를 초과하지 않는 속도로 운전하도록 지시합니다.
예 7: 특정 브랜드의 요구르트에 대한 품질 검사 규정. 지방 함량 f는 2.5% 이상, 단백질 함량 p는 2.3% 이상이어야 합니다.
선생님은 추가로 다음과 같이 조언하셨습니다. 물론 주변에서 수학을 찾을 수 있는 것도 좋습니다. 이는 학생들이 이미 수학에 입학했음을 보여주는 과목이지만, 수학을 공부하는 우리는 수학적 비전과 관점을 사용하여 이러한 양의 비교 과정을 관찰, 요약, 추상 및 완성할 수 있어야 합니다. 수학을 공부하는 우리 각자는 무엇을 해야 할까요? 그렇다면 우리가 공부한 지식은 어떤 지식을 사용하여 이러한 불평등을 표현할 수 있습니까? 학생들은 이러한 불평등을 표현하기 위해 불평등 또는 불평등 그룹을 사용하는 것을 쉽게 생각할 수 있습니다. 두 대수식을 결합하기 위한 부등식 기호 -7<-5, 3+4>1+4, 2x?6, a+2?0,3?4,0?5 등과 같은 공식. .
교사는 위의 7가지 예를 부등식을 사용하여 표현하도록 지도합니다. 예 1에서 t가 특정 날짜의 온도를 나타내는 데 사용되면 예 3에서는 26℃?t?32℃입니다. , x가 음수가 아닌 숫자를 나타내는 데 사용되면 x?0입니다. 예 5, |AC|+|BC|>|AB|, 아래와 같이
|AB|+|BC |>|AC|, |AC|+|BC|>|AB|, |AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|<|AC|, | AC|-|BC|<|AB|, |AB|-|AC|< |BC|. 빼기와 빼기의 위치를 교환할 수도 있습니다.
예 6, v가 사용되는 경우. 속도를 나타내려면 v? 40km/h 예 7, f? 2.3% 예를 들어, 교사는 요구르트의 지방 함량과 단백질 함량이 필요하다는 점을 상기시켜야 합니다. 동시에 만족하려면 f?2.5% 또는 p?2.3%를 쓰지 마세요. 그러나 이는 f?2.3%로 표현될 수 있습니다. 위의 질문에 대해 교사는 학생들에게 차례대로 대답하도록 요청한 다음 프로젝터를 사용하여 교과서에서 두 가지 결론을 제시했습니다.
< p> (1) (2) 생략됨 (3) 숫자 축의 두 점 중 오른쪽 점에 해당하는 실수가 왼쪽 점에 해당하는 실수보다 큽니다.(4) 임의의 두 실수에 대해 a. 그리고 b, a=b, a>b, a0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a일 때
적용 예
예 1( 이 섹션의 교과서 예 1 및 2)
활동: 두 가지 예를 통해 학생들은 두 대수 표현의 크기를 비교하는 기본 방법인 차이 및 일치 방법에 익숙해집니다.
설명: 이 섹션에서는 두 예제에 대한 솔루션이 인수분해 및 일치 방법 적용을 통해 수행됩니다. 이 두 가지 방법은 대수적입니다.
공식 변형에 자주 사용되는 방법은 학생들이 숙지해야 합니다.
변형 훈련
1. f(x)=3x2-x+1, g(x)= 2x2+x -1이면 f(x)와 g(x) 사이의 관계는 ( )
A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)
C.f(x)
답: A
분석: f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+ 1?1 >0,?f(x)>g(x)
2. x?0이 주어지면 (x2+1)2와 x4+x2+1의 크기를 비교합니다. p> p>
해법: (x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2에서
∵x?0 , x2>0을 얻습니다. 따라서 (x2+1)2>x4+x2+1.
예제 2에서는 다음 숫자 그룹(a?b)의 크기를 비교합니다. p>(1) a+b2 및 21a+1b(a>0, b>0)
(2) a4-b4 및 4a3(a-b) 활동: 두 개의 실수 비교 크기는 종종 실수의 연산 특성과 크기 순서 간의 관계를 기반으로 결정되며, 이는 결국 두 실수의 부호를 판단하는 것으로 귀결됩니다. 이 예는 학생들이 독립적으로 완료할 수 있지만 중요한 점은 다음과 같습니다. 요점은 학생들이 최종 기호 판단 추론에 대한 충분한 이유를 가지고 있어야 하며 무시할 수 없다는 것입니다.
해결 방법: (1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=. ?a+b?2-4ab2?a+b?=?a-b?22? a+b?.
∵a>0, b>0 및 a?b, ?a+b>0 , (a-b)2>0.?a-b?22?a+b?>0 즉, a+b2>21a+1b
(2)a4-b4-4a3(a-b)= (a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3) +(ab2-a3)+(b3-a3)]
= -(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2] <. /p>
∵2a2+(a+b)2?0(a=b=0일 때 등호를 취하는 경우에만),
그리고 a?b,?(a-b)2 >0,2a2+(a+b)2>0.?-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.
?a4-b4<4a3(a-b)
p>설명: 차이 방법은 일반적으로 차이를 만드는 것입니다. 변형? 기호 변형을 판단하는 데 일반적으로 사용되는 수단은 분해 계수와 공식입니다. 후자는 차이를 하나 또는 여러 개의 완전 제곱합으로 변환합니다.
변형 훈련
x>y 및 y가 0인 경우 비교합니다. xy와 1의 크기.
활동: 두 개를 비교합니다. 숫자나 표현식 사이의 관계를 확인하려면 차이와 0 사이의 관계만 확인하면 됩니다.
해결책: xy-1=x-yy.
∵x>y,?x-y >0.
y<0, x-yy<0, 즉 xy-1< 0. ?xy<1;
y>0일 때, x-yy >0, 즉 xy-1>0.?xy>1
문자 y는 서로 다른 범위의 값을 취하며, 차이 xy-1의 양수 조건과 음수 조건이 다르기 때문에 y를 분류하여 논의해야 합니다.
예시 3 건축 설계에서는 창 영역을 규정합니다. 주거용 건물의 바닥 면적은 바닥 면적보다 작아야합니다. 그러나 조명 기준에 따라 바닥 면적에 대한 창 면적의 비율은 다음과 같습니다.
10% 미만, 비율이 클수록 집의 채광 상태가 좋아진다는 것을 묻고 싶습니다. 창 면적과 바닥 면적을 동시에 늘리면 집의 채광 상태가 좋아질까요 아니면 나빠질까요? ? 이유를 설명해 주세요.
활동: 문제 해결의 핵심은 먼저 문자 그대로의 언어를 수학적 언어로 변환한 다음 차이 방법을 사용하여 전후의 비율을 비교하는 것입니다.
해결 방법: 집의 창 면적과 바닥 면적을 각각 a, b로 하고, 질문 a의 요구 사항에 따라 동시에 증가된 면적을 m으로 합니다. a+mb+m-ab=m?b-a?b?b+m?>0이므로 a+mb+m >ab 그리고 ab?10%,
따라서 a+mb+m >ab?10%.
따라서 동일한 창 면적과 바닥 면적을 동시에 추가하면 집의 조명 상태가 향상됩니다.
설명: 일반적으로. , a와 b가 양의 실수라고 가정하고 a0, 그 다음 a+mb+m>ab.
변형 훈련
a1, a2, ? 각 항이 0보다 크고 공비 q가 1이면 ( )
A.a1+a8>a4+a5 B.a1 +a8
C.a1+ a8=a4+a5 D.a1+a8 및 a4+a5는 크기가 확실하지 않습니다.
답: A
분석: ( a1+a8)-(a4+a5)= a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2( 1+q+q2)(1+q) (1+q2).
∵{an}의 모든 항은 0, 즉 ?q>0보다 큽니다. 즉, 1+q>0입니다.
또한 ∵q? 1, ?(a1+a8)-(a4+a5)>0, 즉 a1+a8>a4+a5
지식 훈련
1. 다음과 같은 불평등: ①a2+3>2a; ②a2+b2>2(a-b-1); ③x2+y2>2xy. 항상 참인 부등식의 수는 ( )
A.3 B. 2 C.1 D.0
2. 2x2+5x+9와 x2+5x+6의 크기를 비교하세요.
답:
1.C 분석: ∵ ②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2?0,
③x2+y2-2xy=(x-y)2?0. >
①만 항상 참입니다.
2. 해결 방법: 2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0이므로
< p> 그래서 2x2+5x+9>x2+5x+6.수업 요약
1. 교사와 학생***은 실수 A부터 시작하여 이 수업의 요약을 함께 완성합니다. 기본 속성 검토, 활동 탐색 및 예시 질문에 대한 설명, 후속 변형 교육에 이르기까지 학생들이 복잡한 것을 단순화하고 기존 지식과 연결하고 배운 내용을 통합할 수 있습니다.
2. 교사는 실수의 기본 속성을 사용하여 두 실수의 크기를 비교할 때 흔히 발생하는 실수를 지적합니다. 수업이 끝난 후 학생들이 생각하고 토론할 수 있도록 격려하세요.
숙제
그룹 1A 3? 2.
디자인적 사고
1. 이 섹션의 디자인은 교육 방법의 최적화에 중점을 두고 있습니다. 경험에 따르면 교육 규칙을 가장 잘 반영하는 교육 과정을 선택해야 합니다. 교실의 특정 상황에 따라 설계되었습니다. 고정된 교수법을 오랫동안 사용하거나 실험적인 모델을 그대로 사용하는 것은 적합하지 않습니다. 즉, 세상에 만능의 교수법은 없다는 것이다. 학생의 적성에 맞는 유연한 변화를 가르치는 것이 성공의 비약이다.
.
디자인은 난이도 조절에 중점을 두었습니다. 불평등의 내용은 적용 범위가 넓으며 항상 대학 입시의 핵심이자 핫스팟이었습니다. 이 장의 내용을 적절하게 확장하면 주제에 대한 소개로 간주되어 학생들이 자유롭게 탐색하고 연관을 맺을 수 있지만 학생들에게 부정적인 영향을 주지 않도록 너무 많이 확장해서는 안 됩니다.
3. 이 섹션의 설계는 학생들의 사고력 훈련에 중점을 두고 있습니다. 학생들의 사고력을 훈련하고 사고의 질을 향상시키는 것은 수학 교사가 직면한 중요한 주제이기도 합니다. 중학교 수학 교육의 주요 라인입니다. 하나의 질문을 여러 가지 해결책과 함께 사용하면 사고의 발산과 유연성이 향상되고 사고의 경직성을 극복할 수 있습니다. 또한 변형 훈련 교육은 학생들의 사고 지평을 넓히고 문제를 해결하는 데 도움이 됩니다.
수업 준비 자료
예비 연습
1. (x-3) 2와 (x-2)(x-4)를 비교하세요.
2. 다음 정수 쌍의 크기를 알아보세요. (1) m2-2m+5 및 -2m+5 (2) a2- 4a+3 및 -4a+1 /p>
3. x>0이 주어지면 확인: 1+x2>1+x
4. x인 경우
< p> 5. a>0, b> 가정 0, a?b, aabb와 abba의 크기를 비교해 보세요.참고 답변:
1. 해결 방법: ∵(x -3)2-(x-2 )(x-4)
=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)
=1>0,
?( x-3)2>(x-2)(x-4)
2. 해결책: (1)(m2-2m+5)-(- 2m+5)
< p>=m2-2m+5+2m-5=m2.
∵m2?0,?(m2-2m+5 )-(-2m+5)? 0.
?m2-2m+5?-2m+5.
(2)(a2-4a+3)-(- 4a+1)
< p>=a2-4a+3+4a-1=a2+2.
∵a2?0,?a2+2?
< p>?a2-4a+3>-4a+1.3. 증명: ∵(1+x2)2-(1+x)2
=1+x +x24-(x+1)
=x24,
또한 ∵x>0,?x24>0
< p> ?(1+x2)2. >(1+x)2.x>0에서 1+x2>1+x를 얻습니다.
4. 해결책: ( x2+y2)(x-y)- (x2-y2)(x+y)
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y) < /p>
∵x0，x-y<0.
?-2xy(x-y)>0
?(x2+y2) (x-y)>(x2-y2 )(x+y).
5. 해결 방법: ∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b, 그리고 a?b,
< p> a>b>0일 때 , ab>1, a-b>0,그런 다음 (ab)a-b>1, 그 다음 aabb>abba.
b>a> 0, 0일 때
< p> 그러면 (ab)a-b>1.그러면 aabb>abb a.
요약하면, 동일하지 않은 양수 a, b에 대해 둘 다 aabb>abba입니다. 필수과목 5 "불평등관계와 불평등"
방정식' 수업 계획 2
수업 준비
수업 목표
불평등 증명에 능숙함
수업에서 중요하고 어려운 점
불평등 증명에 능숙함
교육 과정
불평등 증명 II
기본 교육
1. If,, Then 다음 부등식은 항상 정확합니다. ( )
2. a와 b가 실수라고 가정하고 최소값은 ( )입니다.
4. 확인: 임의의 수식 x에 대해, y, z, 다음 세 가지 부등식은 동시에 참일 수 없습니다