리만 적분과 르베그 적분의 개요

고급 수학적 개념으로서 리만 적분과 르베그 적분을 배우는 데 있어 어려움은 자명합니다. 현재 많은 수학 애호가와 학생들이 이 두 가지에 대한 기본적인 이해를 돕기 위해 어려움을 겪고 있습니다. , 더 많은 분들이 두 가지 점의 의미를 알 수 있도록 두 가지에 대한 분석을 개인적인 관점에서 설명하겠습니다.

1. 직관적인 설명

먼저 직관적인 설명을 살펴보겠습니다. 예를 들어 테이블 위에는 1자오, 2자오, 5자오가 포함되어 있습니다. 1위안, 2위안, 5위안, 10위안 지폐. 원래 테이블 위에 놓여 있던 돈 뭉치를 위에서 아래 순서대로 하나씩 드려요. 이것이 리만 포인트입니다. 먼저 돈뭉치를 1자오, 2자오, 5자오, 1위안, 2위안, 5위안, 10위안 단위로 분류한 다음, 이렇게 분류된 돈뭉치를 하나씩 주면 이것이 르베그 포인트입니다. .

둘째, 둘의 차이점

르베그 적분은 리만 적분의 일반화라고 볼 수 있다. 이들 사이의 가장 간단한 차이점은 리만 적분 함수가 르베그 적분이어야 한다는 점이다. 는 적분 가능하지만 르베그 적분 가능 함수가 반드시 리만 적분 가능은 아닙니다. 리만 적분은 함수의 속성에 대한 요구 사항이 너무 엄격합니다. 즉, 함수가 구간에 나타날 때 함수가 기본적으로 연속적이어야 합니다.

f(x)={0x∈R / Q1x∈Q

무한한 "문제 지점"이 있기 때문에 이웃이 아무리 작더라도 그 진폭은 1이므로 상위 Darbo 합을 하위 Darbo 합과 동일하게 만들 수 없습니다. 이 문제를 해결하려면 원래 분할 정의 영역에서 분할 값 영역으로 분할 방법을 약간만 변경하면 됩니다. 따라서 값 범위를 나눈 후 르베그 적분은 유리수 집합이 셀 수 있는 집합이므로 모든 유리점 측정값의 합에 1을 더한 값과 같다는 것을 알 수 있습니다. 이므로 측정값은 0입니다.

3. 두 적분의 속성

두 적분 자체의 속성으로 판단하면 르베그 적분은 절대적으로 수렴하는 적분인 반면, 리만 적분은 그렇지 않습니다. 특히, 우리는 일반적인 리만 적분(정확적분)의 경우 적분 가능하면 절대적으로 적분 가능하고 그 반대도 마찬가지이며, 리만 일반 적분의 경우 절대 적분 가능하면 적분 가능하고 그 반대도 마찬가지라는 것을 알고 있습니다. 즉, 절대 적분성과 리만 적분의 의미에서의 적분성은 동일하지 않습니다. 르베그 적분의 경우, 절대 적분성과 절대 적분성은 동일한 것임을 알 수 있습니다. 즉, 르베그 적분은 절대 적분성과 적분성을 합산한다는 의미에서 동일해졌습니다. 이는 르베그 적분과 리만 적분의 중요한 차이점입니다.

자세한 설명 1,

두 적분 의미의 적분 함수 클래스 관점에서 볼 때 르베그 적분 함수 수열로 구성된 선형 공간은 닫혀 있는 반면, 리만 적분 함수 수열은 형성된 선형 공간은 극한 연산에 닫혀 있지 않습니다. 즉, 리만 적분 가능 함수 시퀀스의 극한 함수는 더 이상 리만 적분 가능하지 않을 수 있지만 르베그 적분 함수 클래스는 극한 연산에 닫혀 있습니다. 그리고 이러한 폐쇄성 때문에 L2 공간을 정의할 때 르베그 적분을 사용하는 것을 선호합니다.

리만 적분 가능하지만 그 한계가 리만 적분 가능하지 않은 함수 시퀀스의 예:

함수 시퀀스 fn(x)={1x1n≤x≤10그렇지 않으면 분명히 다음과 같습니다. 거의 모든 곳에서 다음 함수로 수렴됩니다: f(x)={1x0lt;x≤10x=0

그러나 우리는 ?f? 르베그 적분의 또 다른 중요한 특징은 측면에서 리만 적분보다 우수합니다. 함수 클래스의.

자세한 설명 2,

리만 적분과 르베그 적분의 또 다른 중요한 차이점, 즉 적분과 극한, 적분과 극한의 교환 가능 순서 ​​문제에 대해 이야기해 보겠습니다. 순서는 수학적 분석에서 매우 중요한 연산이며, 함수의 적분을 계산하는 문제와 수열의 극한 문제를 연결합니다. 첫째, 리만 적분, 적분의 차수 및 방정식에 대한 지식만 있으면 됩니다. 그는 조건이 매우 엄격하여 Arzela의 제어 수렴 정리를 만족하도록 함수 시퀀스를 요구합니다. 여기서는 함수 시퀀스가 ​​균일하게 유계되어야 할 뿐만 아니라 f(x)가 구간 [a, b]에서 적분 가능해야 합니다.

함수 시퀀스가 ​​균일하게 제한되어야 한다는 요구 사항을 크게 줄입니다. 대신 다른 함수(g(x)?)에 의해서만 "제어"되어야 하며 르베그 적분 가능 함수 시퀀스는 다음으로 구성됩니다. 선형 공간의 폐쇄는 ?f(x)?(즉, 함수 수열의 극한)가 적분 가능함을 요구하지 않으며, 르베그 적분의 의미에서 적분과 극한의 교환 순서를 판단하기 위한 또 다른 제어가 있습니다. 수렴 정리는 완전히 등가적인 정리, 즉 단조 수렴 정리입니다. 이는 또한 적분과 극한의 교환 순서 문제를 처리하는 강력한 방법을 제공합니다. 그러나 리만 적분에는 유사한 정리가 존재하지 않습니다.

자세한 설명 3,

아래에 설명하겠습니다. "르베그 적분성은 절대 적분성과 동일하다"에 대한 깊은 이해에 대해 이야기합니다. 우리는 절대적으로 수렴하는 계열의 경우 항의 순서를 임의로 변경해도 수렴과 계열의 합이 변경되지 않지만 조건적으로 수렴하는 계열 번호는 항의 순서를 바꾸면 결과 계열이 발산될 수 있습니다. 비록 그것이 여전히 수렴하더라도 계열의 합은 원하는 값이 될 수 있습니다. 이 결과를 차례로 살펴보겠습니다. 합산 연산이 순서 변경으로 수렴하는 경우 이 수렴은 절대 수렴이어야 하며, 합산 연산이 순서를 변경한 후 수렴하는 경우는 다음과 같습니다. 수렴이 변경되면(발산 또는 한계값 변경 포함) 이러한 종류의 수렴은 조건부 수렴입니다. 즉, "절대" 수렴이 아닌 "조건부" 수렴입니다.

적분의 정의로 돌아가겠습니다. 리만 적분의 핵심은 정의역을 나누고 합을 근사하여 극한을 취하는 것입니다. 곡선 아래의 그래프가 여러 개의 작은 수직 띠로 잘려져 있다고 가정합니다. 리만 적분은 이러한 작은 띠의 면적을 왼쪽에서 오른쪽으로 "추가"하는 것입니다. 이 수렴은 "왼쪽에서 오른쪽으로"만 계산할 수 있습니다. 합의 수렴은 일종의 "순서적 합산" 수렴이며 이 수렴은 마음대로 변경할 수 없습니다. 르베그 적분의 핵심은 값의 범위를 나눈 후 합을 근사화하여 극한을 구하는 것입니다. 먼저 값의 범위에 따라 높이가 비슷한 작은 막대(함수 값)를 몇 개 모아서 더 넓은 막대를 얻는 것입니다. 그런 다음 이 조각들의 높이를 합산합니다. 이 수렴은 다시 정렬된 다음 합산된 수렴입니다. 위에서, 이 수렴은 절대 수렴이어야 합니다. 따라서 르베그 적분은 절대적으로 적분 가능한 적분입니다.