뫼비우스의 띠(?co *** a/Shutterstock)
알루미늄에 인쇄된 것과 같이 일상 생활에서 수백 개의 단면 물체를 접했을 것입니다. 캔과 플라스틱 병 뒷면의 재활용.
이 수학적 물체를 뫼비우스의 띠라고 합니다. 1868년 9월 26일 독일 수학자 아우구스트 뫼비우스가 사망한 이후 이 책은 환경론자, 예술가, 엔지니어, 수학자 및 기타 많은 사람들을 매료시켰습니다. 단일체 라이프치히는 뫼비우스가 미국 국립대학교 천문학 및 고급 기계학과의 학과장이었던 1858년에 발견되었습니다. (리스팅(Listing)이라는 또 다른 수학자는 몇 달 전에 이를 설명했지만 1861년까지 결과를 발표하지 않았습니다.) 뫼비우스는 다면체의 기하학적 이론을 연구하는 동안 뫼비우스의 띠를 만난 것 같습니다. 다면체는 구성된 3차원 도형입니다. 꼭지점, 모서리 및 평면의.
뫼비우스 테이프는 종이 테이프를 홀수 번 반쯤 꼬은 다음 두 끝을 서로 붙여서 고리를 만드는 방법으로 만들 수 있습니다. 연필을 사용하여 스트립 중앙 아래로 선을 그리면 선이 분명히 고리의 양쪽을 따라 가는 것을 볼 수 있습니다.
네덜란드 그래픽 디자이너 M.C. Escher와 같은 예술가에게 영감을 준 것은 단면적 개체의 개념이었습니다. 그의 목판화 Möbius Strip II는 스트립이 기어간 후 뫼비우스 스트립을 따라 걷는 붉은 개미를 보여줍니다.
Möbius Zone에는 두 가지 이상의 놀라운 특성이 있습니다. 예를 들어, 가위를 사용하여 방금 그린 선을 따라 스트랩을 반으로 자르세요. 두 개의 작은 단면 뫼비우스 스트립 대신 하나의 긴 양면 루프가 남아 있다는 사실에 놀랄 수도 있습니다. 종이 한 장을 가지고 있지 않다면 Escher의 목판화 "Möbius Strip I"을 참조하세요. 뫼비우스 띠가 중심선을 따라 절단될 때 어떤 일이 일어나는지 보여줍니다.
밴드는 시각적인 매력도 있었지만 가장 큰 영향은 수학 분야에서 토폴로지라는 전체 분야를 발전시키는 데 도움이 되었습니다.
a토폴로지는 부품을 자르거나 붙이지 않고도 물체를 움직이거나 구부리거나 늘리거나 비틀어도 물체가 유지하는 속성을 연구합니다. 예를 들어, 얽힌 이어버드 쌍은 엉키지 않은 쌍과 위상학적으로 동일합니다. 한 쌍을 다른 쌍으로 변환하려면 단순히 움직이고, 구부리고, 비틀기만 하면 되기 때문입니다. 그 사이에는 절단이나 접착이 필요하지 않습니다.
위상적으로 동일한 객체의 또 다른 쌍은 커피잔과 도넛입니다. 두 개체 모두 구멍이 하나만 있기 때문에 하나를 늘리거나 구부려서 다른 개체로 변형할 수 있습니다. 컵이 도넛으로 변합니다. (Wikimedia Commons)
물체에 있는 구멍의 수는 깎거나 붙이는 것에 의해서만 변경될 수 있는 속성입니다. 이 속성을 물체의 "속(genus)"이라고 하며, 도넛에는 구멍이 하나뿐인 반면 이어버드 쌍에는 구멍이 없기 때문에 한 쌍의 이어버드와 도넛은 위상적으로 다르다고 말할 수 있습니다.
불행하게도 일반적인 실리콘 감지 손목밴드와 같은 뫼비우스 띠와 리버서블 링은 둘 다 구멍이 있는 것처럼 보이므로 이 속성으로는 둘을 구별하기에는 충분하지 않습니다. 적어도 위상학자의 관점에서 보면 따지고 보면 그렇습니다.
대신 뫼비우스 띠와 양면 고리를 구별하는 특성을 방향성이라고 합니다. 구멍의 수와 마찬가지로 물체의 방향성은 자르거나 붙이는 방법으로만 변경할 수 있습니다.
투명한 표면에 메모를 쓴 다음 그 표면 위를 걸어 다닌다고 상상해 보세요. 산책에서 돌아올 때 항상 메모를 읽을 수 있다면 표면은 방향이 정해져 있습니다. 방향이 지정되지 않은 표면에서 산책을 마치고 돌아오면 자신이 쓴 단어가 분명히 거울 이미지가 되어 오른쪽에서 왼쪽으로만 읽을 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 양면 루프에서는 어디를 가든 메모가 왼쪽에서 오른쪽으로 읽혀집니다.
, 뫼비우스 막대는 방향성이 없고 e-양면체 고리는 방향성이 있기 때문에 뫼비우스 바와 이중면체 고리는 위상적으로 다릅니다. GIF가 시작되면 시계방향으로 나열된 포인트는 검정색, 파란색, 빨간색입니다. 그러나 뫼비우스 띠 주위의 세 점 구성을 이동하여 그래프가 동일한 위치에 있도록 할 수 있지만 시계 방향으로 나열된 점의 색상은 이제 빨간색, 파란색, 검정색입니다.
어떻게든 구조는 거울 이미지로 바뀌었지만 우리가 한 일은 표면에서 그것을 움직이는 것뿐입니다. 양면 링과 같은 방향이 있는 표면에서는 이러한 변환이 불가능합니다. (David Gunderman 작성)
방향성의 개념은 중요합니다. 거울상 이성질체를 예로 들어 보겠습니다. 이들 화합물은 한 가지 주요 차이점을 제외하고 동일한 화학 구조를 가지고 있습니다. 즉, 서로 거울상입니다. 예를 들어, 화학 물질인 L-메스암페타민은 Vic의 증기 흡입기의 성분입니다. 거울 이미지인 D-메스암페타민은 A급 불법 약물입니다. 우리가 방향성이 없는 세계에 산다면 이러한 화학물질은 구별이 불가능할 것입니다.
아우구스트 뫼비우스의 발견은 자연계를 연구하는 새로운 방법을 열었습니다. 위상수학 연구는 계속해서 놀라운 결과를 낳고 있습니다. 예를 들어 작년에 위상수학을 통해 과학자들은 물질의 이상한 새로운 상태를 발견할 수 있었습니다. 올해 수학 분야 최고 영예인 필즈상은 위상수학과 정수론 등 다른 분야의 결합에 기여한 콜로라도대학교 응용수학 박사과정 수학자 악샤이 벤카테시(Akshay Venkatesh)와 총장 리처드 건더만(Richard Gunderman) 교수에게 수여됐다. 인디애나 대학교 의학 및 교양 자선 활동
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