1890 년에 이탈리아의 수학자 페아노 (Peano G) 는 피아노 곡선이라는 정사각형을 채울 수 있는 곡선을 발명했다. 나중에 힐버트가 이 곡선을 만들었는데, 일명 힐버트 곡선이라고도 합니다. 피아노 대 구간은 두 개의 연속 함수 x=f(t) 와 y=g(t) 를 지정하여 x 와 y 가 단위 정사각형의 각 값에 속하도록 할 수 있습니다.
힐버트 곡선은 1891 년에 데이비드 힐버트가 제시한 평면 정사각형을 채울 수 있는 프랙탈 곡선 (공간 채우기 곡선) 입니다.
그것이 평면을 채울 수 있기 때문에, 그것의 하우스도프비는 2 이다. 채운 정사각형의 변 길이는 1 이고, N 단계의 힐버트 곡선 길이는 2n-2-n 입니다.
L 시스템 표기법: 변수: l, R
상수: f,+,-
공리: L
규칙:
L → +RF-LFL-FR+
R →? LF+RFR+FL?
F: 앞으로
-:우회전 90 도
+:좌회전 90 도
일반적으로 1 차원 물건은 2 차원 정사각형을 채울 수 없다. 그러나 피아노 곡선은 정확히 반례를 제시했다. 이것은 차원에 대한 우리의 인식이 결함이 있으며 차원의 정의를 재검토할 필요가 있음을 보여준다. 이것이 프랙탈 기하학의 고려 사항입니다. 프랙탈 기하학에서 차원은 분수가 될 수 있습니다. 이를 프랙탈 차원이라고 합니다.
게다가 힐버트 곡선은 연속적이지만 곳곳에서 유도할 수 없는 곡선이다. 따라서 전통적인 의미의 곡선을 연구하려면, 페아노 곡선과 같은 특수한 경우를 제외하기 위해 유도할 수 있는 조건을 추가해야 합니다.