널 공간은 선형 매핑(즉, 행렬)의 맥락에서 나타나며, 이미지가 0인 원래 이미지 공간, 즉 {x|Ax=0}을 나타냅니다.
수학에서 연산자 ?A?의 영공간은 방정식 ?Av?=?0?의 모든 해 ?v?의 집합입니다. A핵, 핵공간이라고도 불린다. 연산자가 벡터 공간의 선형 연산자인 경우 영공간은 선형 부분 공간입니다. 따라서 영공간은 벡터공간이다.
속성:
A가 행렬인 경우 nullspace는 모든 벡터 공간의 선형 부분 공간입니다. 이 선형 부분공간의 차원을 A의 영성(nullity)이라고 합니다. 이는 피봇 포인트를 포함하지 않는 행렬 A의 행 사다리꼴 형식의 열 수로 계산할 수 있습니다. 랭크 0차 정리는 모든 행렬의 랭크에 0차를 더한 값이 행렬의 열 수와 같다는 것을 나타냅니다.
특이값 0에 해당하는 A의 오른쪽 특이 벡터는 A의 영공간의 기저를 형성합니다.
A의 영공간은 방정식 Ax=b의 모든 해(완전해)를 찾고 표현하는 데 사용될 수 있습니다. x1이 이 방정식의 해(특정 해라고 함)인 경우 방정식의 전체 해는 특정 해에 영공간의 모든 벡터를 더한 값과 같습니다. 특정 해는 b의 함수에 따라 달라지지만 영공간의 벡터는 그렇지 않습니다.
이를 증명하기 위해 각 방향을 고려합니다. 한 방향에서 Ay=b이고 Av=0이면 분명히 A(y+v) =Ay+Av=b+0=b입니다. 따라서 y+v는 Ax=b의 해이기도 합니다. 다른 방향에서 Ax=b에 대한 또 다른 해 z가 있으면 A(z?y) =Az?Ay= b?b = 0입니다.
그래서 벡터 u=z?y는 A와 z=y+u의 nullspace에 있습니다. 따라서 모든 해는 영공간의 벡터와 특정 해 y로 표현될 수 있습니다.