수학, 특히 복소 분석에서 리만 곡면은 1차원 복소 다양체입니다. 리만 곡면은 복잡한 평면의 변형된 버전으로 생각할 수 있습니다. 각 점에서 국지적으로는 복잡한 평면처럼 보이지만 전체 토폴로지는 매우 다를 수 있습니다. 예를 들어, 공이나 고리처럼 보일 수도 있고, 두 페이지가 붙어 있는 것처럼 보일 수도 있습니다.
리만 곡면의 핵심은 이들 곡면 사이에 정형함수를 정의할 수 있다는 점입니다. 리만 곡면은 이러한 함수, 특히 제곱근 및 자연 로그와 같은 다중값 함수의 전반적인 동작을 연구하기 위한 자연스러운 선택으로 간주됩니다.
모든 리만 표면은 2차원 실수 분석 다양체(즉, 표면)이지만 다치 함수의 명확한 정의로 인해 더 많은 구조(특히 복잡한 구조)를 가지게 됩니다. 이러한 구조가 필요합니다. 실제 2차원 다양체는 방향이 지정될 수 있는 경우에만 리만 표면(보통 여러 가지 방법으로)으로 변환될 수 있습니다. 따라서 구와 고리는 복잡한 구조를 갖고 있지만 뫼비우스 원, 클라인 병, 투영면은 그렇지 않습니다.