번개 수
한 외국인 수학자 카플리가 (Capriga) 는 한 여행에서 맹렬한 폭풍우를 만나 번개와 천둥이 치고 나서 길가의 이정표를 보고 번개에 의해 반으로 쪼개지고, 반은 30, 나머지 반은 25 로 새겨져 있었다. 이때 카플리가의 머릿속에서 갑자기 절묘한 수학 관계가 발견되었다.
반으로 쪼개진 숫자를 더하고 다시 제곱하면 딱 원래의 숫자다. 그 외에 다른 숫자도 있고 이런 성격도 있나요?
속산에 익숙한 사람들은 곧 또 다른 수를 찾았다. 2025 는 첫 번째 발견자의 이름에 따라 이 이상한 수를' 카프리가수' 또는' 레이피수' 라고 명명했다.
지금 이 수를 찾는 방법은 여러 가지가 있지만, 가장 쉬운 방법은 9 와 11 의 배수에서 찾는 것이다. 예를 들어 위에서 언급한 55 는 11 의 배수이고 45 는 9 의 배수이다. 이런 식으로, 사람들은 과연 매우 흥미로운 7777 을 찾았는데, 검사하기 어렵지 않다: 6048+1729=7777
구소련의 한 어린이 카가도 9801 이라는 새로운' 천둥수' 를 발견했다. 98+1=99, 위에서 언급한 4 개의' 벼락수' 에서 우리는 같은 상황을 발견하기 어렵지 않다. 짝수+홀수 = 홀수, 홀수의 제곱 = 홀수. 3025,2025,9801 과 60481729 는 모두 홀수입니다. 그래서, 짝수 천둥이 있습니까?
대답은' 예' 입니다. 7 년 전, 여주사범부소의 한 동창이 짝수' 벼락수' 를 발견했다. 100, 왜냐하면 10=10, 검증을 거쳐 100 은 가장 작은 짝수의 지뢰수였다. 유일한 짝수일 수도 있다. 이 학생은 또한 가장 작은 홀수인 81 을 발견했다. 왜냐하면, 8+1=9, 수학 왕국에서는 가장 작은 수의 벼락수가 단 1 개일 뿐, 숫자가 큰 벼락수는 무수히 존재할 것이며, 그 속의 신비는 사람들이 계속 탐구해야 할 것이라고 추측할 수 있기 때문이다. (윌리엄 셰익스피어, 햄릿, 지혜명언)
벼락수와 그 법칙
수학자 카플리가는' 카플리가 수' 또는' 레이지 수' 라고 불리는 특수한 성격의 수를 발견했다고 한다. 한 위치에서 두 개의 정수로 자르면 두 숫자의 제곱은 여전히 이 수와 같습니다. 잘린 위치를 오른쪽에서 N 번째와 N+1 위 사이로 하고, 잘린 두 숫자는 A 와 B 입니다. 즉, 이 벼락수는. 있습니다.. (1)
첫 번째 벼락수는 카프리가 폭풍우 속에서 본 번개에 의해 반으로 쪼개진 이정표의 숫자 3025 로, 30, 25 로 잘려 325 = 55 로 잘렸다. 이것이 바로' 벼락치기' 의 내력이다.
그 이후로 어떤 사람들은 새로운 천둥 번개를 찾는 것에 열중하고 있다. 구소련의 한 어린이가 98 과 01 로 쪼개진 천둥수를 찾았다고 한다: 9801. 알려진 일부 지뢰 수 중에서, 그들이 쪼개진 두 수의 합은 모두 9 나 11 의 배수이거나, 그 합과 마이너스 1 은 9 의 배수이며, 사람들은 이 경험들에 따라 새로운 지뢰 수를 찾는 것이다. (알버트 아인슈타인, 경험명언) 중국 초등학생 류익이 가장 작은 홀수인 81 과 짝수인 100 을 찾았다.
뇌절수는 자연수에서 분포가 매우 적어, 대수에서 밀도가 더 작다. 밀도가 기하급수적으로 줄어들기 때문입니다.
< n 의 번개 수를 n 개로 설정하면 log (n)/log (n) lt 가 있습니다. 0.175 아래 표 참조:
로그 (n) 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14
N 1 2 5 7 9 11 18 21 26 32 57 59 65
로그 (n)/로그 (n) .000.100.175.169.159.149.157.147.141.137.146.136
이 뇌절수 밀도 법칙은 14 자리 자연수 내의 모든 뇌절수표의 실제 통계에서 나온 것이고, 길이가 14 자리 이내인 전부 ***66 개의 뇌절수표는 우리가 컴퓨터로 찾아낸 것이다. 이 알려진 벼락수 표에서 볼 수 있듯이, 벼락수는 홀수나 짝수일 수 있지만, 항상 쌍으로 나타난다. 즉, 같은 B 값에 대해 항상 두 개의 a1, a2 쌍을 이루는 벼락수 A1 * 10 N+B 와 A2 * 10 N+B 가 있다. 이 때문에, 이 표의 벼락 수는 완전히 크기순으로 정렬되지 않았다. 참고: 임의의 n, 2n 비트 수 10 n * (10 n-2)+1 과 2n+1 비트 수 10^2n 은 평범한 천둥수라고 할 수 있지만 한 쌍이 아니라 각각 1 과 0 쌍, 즉 b=1 과 쌍을 이룹니다 B=0 의 경우 a1 = 0, a2 = 10 n 이 쌍을 이룹니다.
뇌절수가 너무 적고 픽셀 수가 그렇게 정해지지 않았기 때문에, 인공으로 뇌절수를 발견하는 것은 매우 어렵다. 특히 큰 뇌절수, 즉 컴퓨터를 사용하여 하나씩 찾아가는 것도 시간이 많이 걸린다. N 자리 수는 n-1 의 다른 위치에서 쪼개질 수 있기 때문에 N 번을 시험해 봐야 그것이 벼락치기인지 확인할 수 있다. 이렇게 모든 긴 n 비트의 지뢰수를 찾으려면 (n-1) * (10 (n+1)-10 n) = (n-1) * 9 * 10 n =; 따라서 천둥수의 성질을 분석하여 그 법칙을 찾아 이용해야 한다.
식 (1) 에 따르면, B 가 알려진 경우, 이 벼락수의 A 값은 다음 방정식에서 풀릴 수 있다.
A 2+(2b-10 n) * a+(b 2-b) = 0 ... ... ... ... ... ... ... ... (2)
이것은 변수 A 에 대한 2 차 방정식으로, 두 개의 뿌리 a1, a2 가 있는데, 이것이 바로 천둥수가 항상 쌍을 이루는 이유이다.
그러나 (2) 의 루트 a1, a2 를 유효한 자연수로 만들려면 반드시 제곱수
와 동일하게 판단해야 합니다(2b-10 n) 2-4 * 1 * (b 2-b) = 10 (2n)-4b * (10 n-1) = c 2
이것으로 b:
를 풀다B = (10 n-c) * (10 n+c)/4/(10 n-1) ... ... ... ... ... ... ... ... (4) <
(4) 식의 B 를 정수의 정수 C 로 만들고 (3) 식의 두 루트 a1, a2
를 찾기만 하면 된다.-(2b-10 n) c 10 n c
A1, a2 =---=---b ... ... ... ... ... ... (5)
2 2
한 쌍의 지뢰수 A1 * 10 N+B, A2 * 10 N+B 를 찾았습니다. 지금 1 검사에서 10 14 까지 모든 벼락치기를 찾는 대신 1 에서 10 7 까지, B 를 정수의 C 값으로 찾으면 마이크로컴퓨터는 38 분만에 완성된다. (알버트 아인슈타인, 컴퓨터명언) (윌리엄 셰익스피어, 마이크로컴퓨터, 마이크로컴퓨터, 마이크로컴퓨터, 마이크로컴퓨터, 마이크로컴퓨터, 마이크로컴퓨터, 마이크로컴퓨터, 마이크로컴퓨터)
□ 형식으로 우리는 각 쌍의 지뢰 수의 합을 얻을 수 있다: (a1+b) * (a2+b) = (10 2n-c 2)/4
그런 다음 c 2 = 10 2n-4 * b * (10 n-1) 를 사용 가능한 것으로 대체하십시오:
(a1+b) * (a2+b) = 2b * (10 n-1)
10 N-1 은 9 의 배수이기 때문에, 즉, 매 쌍의 지뢰수 중 적어도 하나는 9 의 배수이다. N 이 짝수인 경우
10 N-1 은 11 의 배수입니다. 즉, 두 쌍의 지뢰수 중 적어도 하나는 11 의 배수입니다. 이것이 바로 앞서 언급한 벼락치기를 찾는 경험방법의 근거가 되는 법칙이다. 이 규칙은 나열된 번개 숫자로도 확인할 수 있습니다.
이 66 개의 지뢰수 중 9 와 11 로 나눌 수 있는 15%, 9 로 나눌 수 있는 52%, 11 로 나눌 수 있는 32% 가 그 합이다. 하지만 32% 는 9 로 나눌 수도 없고 11 로 나눌 수도 없습니다.
상술한 이런 벼락수는 어느 위치에서 두 수로 쪼개서 더하면 그 합계의 제곱은 여전히 이 수와 같다. 가산이 아니라 빼면 어떻게 될까요? 즉, 두 개의 숫자로 쪼개진 후, 그것들의 차이 제곱은 그 자연수와 같은 숫자도 있어야 하지 않겠는가? 프로그램을 짜서 찾아보았는데, 역시 있었으니, 잠시 그것을 감뢰패수라고 부르자. 천둥을 줄이는 수는 원래의 천둥보다 절반이 적고, 그것들도 쌍으로 나타난다. (아리스토텔레스, 니코마코스 윤리학, 지혜명언) 현재 14 자리 이내의 28 개 감뢰 분할 수도 뒤에 기록해 검증을 위해 하고 있습니다.
부록 1: 14 비트 이내의 번개 수 표
8 1,10 0 │ 494 1729 │ 250500 250000 │ 101558 217124 │ 923594 037444
20 25 │ 6048 1729 │ 217930 248900 │ 464194 217124 │ 28 005264
30 25 │ 9998 0001 │ 284270 248900 │ 43470 165025 │ 989444 005264
98 01 │ 10000 0000 │ 213018 248521 │ 626480 165025 │ 999998 000001
100 00 │ 4938 17284 │ 289940 248521 │ 35010 152100 │ 100000 0000000
88 209 │ 60494 17284 │ 152344 237969 │ 660790 152100 │ 2428460 2499481
494 209 │ 3008 14336 │ 371718 237969 │ 33058 148761 │ 2572578 2499481
998 001 │ 68320 14336 │ 127194 229449 │ 669420 148761 │ 1975 308 2469136
1000 000 │ 238 04641 │ 413908 229449 │ 21948 126201 │ 3086420 2469136
2450 2500 │ 90480 04641 9472348227904 94725650126201 94725650126201 94725650126201 94793900588225
2550 2500 │ 99998 00001 │ 420744 227904 │ 20408 122449 947841600588225
744 1984 │ 10000 0000000 │ 108878 221089 94734694122449 94749999998000001
5288 1984 │ 249500 250000 │ 448944 221089 │ 1518 037444 │ 1000000000000000
부록 2: 14 비트 이내의 번개 감소표
10 0 │ 6 084 │ 10000 0000 │ 3306 21489 │ 10000000 00000000
12 1 │ 1162 084 │ 10002 0001 │ 139672 21489 │ 10000002 000001
100 00 │ 82 369 │ 120 1216 │ 1000000 0000000 947438023471076
102 01 │ 1656 369 │ 12312 1216 │ 1000002 000001 │ 16198350 3471076
1000 000│ 132 496│ 100000 00000│ 113
322 449956│
1002 001 │ 1860 496 │ 100002 00001 │ 1786590 449956 │