아킬레스 거북이는 기원전 5 세기의 철학자 지노가 제기한 역설이다. 지노는 변증법의 창시자라고 한다. 변증법은 어디에 다른 의견이 있는지 명확하게 지적함으로써 사실에 대한 인식을 확립하는 방법을 말한다. 젊은 소크라테스가 지노의 강의를 듣고 변증법을 배웠다고 전해진다.
아킬레스는 호머 서사시' 일리아드' 의 주인공으로, 개인의 특기는 빨리 달리는 것이다. 거북이는 분명 그의 속도를 따라잡을 수 없을 것이다. 그러나 이해하기 쉽도록 아킬레스의 속도가 거북이의 2 배라고 가정한다. 아킬레스와 거북이는 달리기 경주를 해서 거북이에게 우선 조건을 주어 1km 에서 달리기 시작하게 했다.
지노는 아킬레스가 거북이를 따라잡을 수 없다고 생각했다. 아킬레스는 1km 를 달렸고, 마침내 거북이가 달리는 출발점으로 달려갔을 때, 달리기 속도는 그 속도의 절반인 거북이가 또 킬로미터를 앞으로 달렸다. 그래서 아킬레스는 계속 킬로미터를 쫓아갔고, 이때 거북이는 또 킬로미터를 앞으로 달렸다. 그리고 아킬레스는 계속 킬로미터를 달렸고, 이때 거북이는 또 킬로미터를 앞으로 달렸다. 아킬레스가 아무리 쫓아와도 거북이는 영원히 아킬레스 앞에서 달린다.
아킬레스가 거북이가 있는 곳-거북이가 반 거리를 더 달렸다' 는 과정을 1 회, 반복한 뒤 거북이가 달리는 전체 거리는
라고 적었다의 값이 클수록 의 값이 작을수록 1 에 가까워집니다.
그래서 이 과정이 무한히 반복되자 결국 거북이는 1km 만 달렸고 아킬레스는 2km 를 달렸고 거북이를 따라잡았다.
지노는 물론 아킬레스가 거북이를 따라잡을 수 없다고 생각하는 것은 아니다. 그가 이 역설을 제기한 원래의 의도는 제한된 거리가 무한한 간격으로 나눌 수 있다는 것을 설명하기 위해서였다.
고대 그리스의 수학자들은 선분의 길이에 가장 작은 단위가 있다고 생각하는데, 모든 길이는 이 단위로 측정할 수 있다. 그러면 모든 선분의 비율은 분수로 표현할 수 있어야 한다. 그러나' 정사각형의 대각선과 변의 비율은 분수로 표현할 수 없다' 는 발견은 상술한 신념과 모순된다. 제한된 거리도 무한한 간격으로 나눌 수 있다. 지노의 이 역설은 길이에 최소 단위가 없다는 것을 보여준다.