소개: 시퀀스의 각 숫자를 시퀀스의 항목이라고 합니다. 수열은 정의역이 양의 정수 집합(또는 유한 부분 집합)이고 순서가 지정된 수열인 함수입니다. 일반적으로 두 번째 항목부터 시작하는 수열의 각 항목과 그 이전 항목의 차이가 동일한 상수인 경우 해당 수열을 등차수열이라고 하며, 이 상수를 등차수열의 공차라고 합니다. ), 공차는 일반적으로 문자 d로 표시되고 처음 n 항의 합은 Sn으로 표시됩니다. 산술진행(Arithmetic Progression)은 A.P.(Arithmetic Progression)로 줄여서 표현할 수 있습니다. 고등학교 수열의 기본 공식:
1. 일반 수열의 일반항 an과 처음 n항과 Sn 사이의 관계: an=
2. 일반 수열의 일반 공식 산술 수열: an= a1 (n-1)d an=ak (n-k)d (여기서 a1은 첫 번째 항이고 ak는 알려진 k 번째 항입니다.) d₁0일 때, an은 n의 선형 표현입니다. d=0일 때 an은 상수입니다.
3. 산술 수열의 처음 n 항과 공식: Sn=
Sn=
Sn=
언제 d? 0 , Sn이 n에 대한 이차식이고 d=0(a1?0)일 때 상수항이 0이면 Sn=na1은 n에 대한 정비례식입니다.
4. 기하수열의 일반항 공식: an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(여기서 a1은 첫 번째 항이고 ak는 알려진 k입니다. -번째 항, an?0)
5. 등비수열의 첫 번째 n 항 및 공식: q=1일 때 Sn=n a1(n에 대한 정비례 공식)
q?1일 때 Sn=
Sn=
고등학교 수학 수열 지식 포인트 2: 고등학교 수학의 산술 및 기하 수열에 대한 결론
1. 산술수열 {an}의 임의의 연속 m항의 합으로 형성된 수열 Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, S4m - S3m, ?는 여전히 산술수열입니다.
2. 산술 수열 {an}에서 m n = p q이면
3. 등비 수열 {an}에서 m n = p q이면
4. 등비수열 {an}의 임의의 연속 m항의 합으로 형성된 수열 Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, S4m - S3m, ?는 여전히 등비수열입니다.
5. 두 산술 시퀀스 {an} 및 {bn}, {an bn} 및 {an-bn}의 합과 차이는 여전히 산술 시퀀스입니다.
6. 두 개의 기하수열 {an}과 {bn}의 곱, 몫, 역수로 구성된 수열
{an
bn}, < /p>
,
는 여전히 기하학적 시퀀스입니다.
7. 산술 수열 {an}의 등거리 항으로 구성된 수열은 여전히 산술 수열입니다.
8. 기하수열 {an}의 등거리 항으로 구성된 수열은 여전히 기하수열입니다.
9. 세 개의 숫자가 산술 수열을 형성한다는 개념: a-d, a, a d 네 개의 숫자가 산술 수열을 형성한다는 개념: a-3d, a-d,, a d, a 3d
< p> 10. 수열에 비례하는 3개의 숫자에 대한 생각: a/q, a, aq4개의 숫자에 대한 잘못된 생각; 비례하는 것: a/q3, a/q, aq, aq3 (왜?)
11. {an}은 산술 시퀀스이고
(cgt; 0)은 기하학적 수열. 12. {bn}(bngt; 0)은 등비수열이고, {logcbn}(cgt; 0 및 c
1)은 산술수열입니다. 13. 산술 수열에서
: (1) 항의 개수가
이면
(2) 개수가
이면그러면,
,
14. 기하수열에서
: (1) 항의 개수가
, 그러면 < /p>
(2) 숫자가 다음과 같은 경우
고등학교 수학에서 수열을 합하는 기본 방법과 기법
1. 공식 방법 사용:
①등차 수열 합산 공식;
②고로메트릭 수열 합산 공식, 특수문: 기하 수열 합산 공식을 사용할 때 공비 사이의 관계를 확인하십시오. 1, 필요한 경우 분류 논의.
③일반적으로 사용되는 공식:
,
,
. 시퀀스
및 Sn=2n-1의 첫 번째 항, 그 다음
=_____ (답변:
) (2 ) 컴퓨터는 처리된 정보를 이진수로 변환합니다.
2진수란 2가 1로 변환된다는 의미입니다. 예를 들어
는 2진수를 나타내고 이를 10진수로 변환하면
가 됩니다. 네_______ (답변:
) 2. 그룹수열 합산법: 수식을 직접 합산하는 것이 어려울 때에는 먼저 합산식에 있는 유사한 용어를 합치는 경우가 많습니다. 그런 다음 수식 방법을 사용하여 합을 구합니다. 예:
(답:
) 3. 역순 덧셈 방법을 사용하여 수열의 합을 구합니다. 합 공식의 두 항 중 처음부터 끝까지의 거리가 동일합니다. 그 절대성 또는 수열의 일반항이 조합수와 관련이 있는 경우 역순 덧셈 방법을 사용하여 취하는 것을 종종 고려할 수 있습니다. 합산의 절대성 이점(이는 산술 수열
및 공식 유도 방법 이전에도 마찬가지입니다) 예를 들어, ① 증명:
② 알려진 것
이면
=______ (답변:
) 4. 변위된 뺄셈 방법을 사용하여 수열의 합을 구합니다. 수열의 일반항이 다음과 같이 구성된 경우 등비수열의 일반항에 기하수열의 일반항을 곱한 경우에는 변위 빼기법이 자주 사용됩니다(기하수열 이전의 경우도 마찬가지입니다< /p>
및 수식 유도 방법을 예로 들 수 있습니다). (1)
를 기하수열이라고 하고,
, 알려진
,
p>
, ① 선행을 찾아라 수열의 항과 공비
; ② 수열의 일반항 수식을 구하세요
(답: ①
,
); (2) 함수
를 가정하고 시퀀스
는 다음을 충족합니다.
, ① 증명: 시퀀스
는 기하학적 수열입니다. ②
해당 점에서
함수의 도함수를 구해 보겠습니다.
,
및
의 크기를 비교합니다.
(답변: ①생략; ②
, when
,
=
; when
, < /p>
lt;
; 때
,
)
< p> 5 수열의 합을 위한 분할 항 취소 방법: 수열의 일반 항을 두 항의 차이로 분할할 수 있고 분할 후 인접 항이 관련되는 경우 분할 항 취소 방법을 사용하여 합산하는 경우가 많습니다. . 일반적으로 사용되는 분할 항목 형식은 다음과 같습니다.1
; ; ④ < /p>
; ⑤
; ⑥
. (1) 합계:
(답:
< p>) ; (2),
및 Sn=9에서는 n=_____
(답변: 99); p>< p> 6. 일반항 변환법을 사용하여 수열의 합을 구합니다. 먼저 일반항을 변형하고 그 고유한 특성을 찾아낸 후 그룹합법을 사용하여 합을 구합니다. 예를 들어
①수열 1?4, 2?5, 3?6,?,
,?
<의 첫 번째 항의 합을 구합니다. /p>
= (답:
); ②합:
(답:
) 일반항을 찾는 방법은 일반적으로 다음과 같습니다. 고등학교 수학에서 수열의 공식: < /p>
1. 문제가 알려져 있거나 간단한 추론을 통해 기하수열, 산술수열이라고 판단되면 해당 일반식을 직접 사용하세요.
예: 수열 {an}에서 a1=1, an 1=an 2(n1)이면 수열의 일반식 an을 구합니다.
해결 방법: 1=an 2(n1)과 알려진 수열 {an}으로부터 a1=1과 d=2의 산술 수열임을 추론할 수 있습니다. 따라서 an=2n-1입니다. 이러한 유형의 질문은 주로 기하학적 및 산술 수열의 정의를 사용하여 판단하며 비교적 간단한 기본 질문입니다.
2. 알려진 수열의 처음 n 항의 합은 다음 공식을 사용합니다.
S1 (n=1)
Sn-Sn-1 ( n2)
p>
예: 수열 {an}의 처음 n 항은 Sn=n2-9n이고, k 번째 항은 5를 만족하는 것으로 알려져 있습니다.
( A) 9 (B) 8 (C) 7 (D ) 6
해결 방법: ∵an=Sn-Sn-1=2n-10, ?5lt 8 ?k=8 선택 (B)
이런 유형의 문제를 풀 때 반드시 n=1인 경우를 고려하세요.
3. an과 Sn의 관계를 알 때 일반적으로 변환법을 사용하여 Sn과 n의 관계를 먼저 찾은 다음 위의 (2) 방법을 사용하여 일반식을 구합니다.
예: 수열의 처음 n항 {an}과 Sn은 an=SnSn-1(n2), a1=-를 만족한다고 알려져 있으며, 수열의 일반항의 식을 구하세요. {an}.
해결 방법: ∵an=SnSn-1(n2), an=Sn-Sn-1, SnSn-1=Sn-Sn-1, 양쪽을 SnSn-1로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다. - =-1(n2) 및 -=-=-, ?{-}는 첫 번째 항이 -이고 공차가 -1인 산술 수열입니다. ?-= -, Sn= -,
그런 다음 방법 (2)를 사용하십시오. n2일 때 an=Sn-Sn-1=-, n=1일 때 이 공식은 적합하지 않으므로
- (n=1) < /p>
- (n2)
4. 누적 및 누적 방법을 사용하여 일반 공식을 찾습니다.
an, an 1 및 an-1의 재귀 공식의 경우 Sub 문제에서 일반 공식을 찾는 데 일반적으로 누적 방법과 누적 방법이 사용됩니다.
예: 수열 {an}이 첫 번째 항이 1이고 (n 1)an 12-nan2 an 1an=0을 만족하는 양수 수열이라고 가정하고 수열 {an}의 일반식을 구하세요.
해결책: ∵(n 1)an 12-nan2 an 1an=0, 이는 [(n 1)an 1-nan](an 1 an)=0으로 분해될 수 있습니다.
< p>또한 ∵ {an}은 첫 번째 항이 1, ?an 1 an ?0, ?-=-인 양수 수열입니다. 이로부터 다음을 얻을 수 있습니다: -=-, -=-, -=-, ?, -=-, 이 n -1 공식을 곱하여 다음을 얻습니다. ? -=-,그리고 ∵a1=1, ?an=-(n2), ∵n=1도 true입니다. an=-( n?N*)
5. 수열을 구성하는 방법을 이용하여 일반식을 구한다
문제에 재귀관계가 주어지면 누적, 누적, 반복 등의 방법도 사용됩니다. 일반 공식을 찾기 어려울 때 이를 변형하여 (또는 Sn)을 포함하는 공식을 구성하여 기하수열 또는 산술수열로 만들어 두 요소 사이의 관계를 찾는 것을 고려할 수 있습니다. an(또는 Sn)과 n입니다. 최근 1, 2년간 대학 입시가 화제가 되면서 초점이자 난관이기도 합니다.
예: 알려진 시퀀스 {an}, a1=2, an 1=(--1)(an 2), n=1, 2, 3,? (1) {an}의 일반항 공식 (2)를 간단히 알아보세요.
해결책: 1=(--1)(an 2)에서 1--= (--1을 얻습니다. )(an- -)
?{an--}은 첫 번째 항이 a1--이고 공비가 -1인 등비 수열입니다.
a1=2에서 an--=(--1)n-1(2--)를 얻으므로 an=(--1)n-1(2--) - < /p >
또 다른 예: 수열 {an}, a1=2, an 1=4an-3n 1(n?N*)에서 수열 {an-n}이 등비 수열임을 증명합니다.
증명: 이 질문은 1-(n 1)=q(an-n)(q는 0이 아닌 상수)임을 증명합니다.
1=4an-3n 1에서 변형은 1-(n 1)=4(an-n)이고 ∵a1-1=1입니다.
따라서 시퀀스 {an-n}은 첫 번째 항 1과 공비 4 기하학적 수열.
이 질문을 an의 일반식으로 바꾸면, 여전히 {an-n}의 일반식을 찾아 an의 일반식으로 변환할 수 있습니다.
또 다른 예: {an}? (0, 1), an=-, n=2, 3, 4? (1)의 첫 번째 항을 가정하여 { }. (2) 간단히
해결 방법: an=-, n=2, 3, 4, ?에서 1-an=--(1-an-1), 1-a1?로 정리합니다. 0이므로 {1-an}은 첫 번째 항이 1-a1이고 공비가 --인 등비 수열이며 an=1-(1-a1)(--)n-1을 얻습니다.