리만 표면의 기하학적 특성은 가장 훌륭하며, 다른 곡선, 다양체 또는 대수 클러스터의 보급에 대한 직관적인 이해와 동력을 제공합니다. Riemann-Roch 정리가 이런 영향의 가장 좋은 예이다.
X 를 하우스도르프 공간 (Hausdorff space) 으로 만듭니다. 열린 하위 집합 u 에서? X-C 의 하위 집합에 대한 동형을 그림 (chart) 이라고 합니다. 겹치는 영역이 있는 두 개의 그림 F 와 G 를 호환이라고 합니다. f o g-1 과 g o F-1 을 매핑하면 정의 도메인에서 완전히 순수합니다. A 가 호환 가능한 그림 세트이고 각 X 의 X 가 F 의 정의 도메인에 있는 경우 A 를 아틀라스 (atlas) 라고 합니다. 우리가 X 에 아틀라스 A 를 부여할 때, 우리는 (X, A) 를 리만 표면이라고 부른다. 아틀라스가 있다는 것을 알고 있다면, 우리는 간단히 X 를 리만 표면이라고 부른다.
서로 다른 아틀라스는 x 에서 본질적으로 동일한 리만 표면 구조를 제공할 수 있습니다. 이러한 모호성을 피하기 위해, 우리는 때때로 X 가 매우 크다는 것을 요구한다. 즉, 그것은 어떤 더 큰 아틀라스의 하위 집합이 아니다. Zorn's Lemma 에 따르면 각 세트 A 는 고유한 최대 그림 세트에 포함되어 있습니다.
복평면 C 는 아마도 가장 평범한 리만 표면일 것이다. 매핑 f(z) = z (상수 매핑) 는 c 의 그림을 정의하는 반면, c 의 아틀라스. 매핑 g(z) = z* (*** 멍에) 매핑도 c 의 그림을 정의하지만 c 의 아틀라스 중 하나입니다. 그림 f 와 g 는 호환되지 않습니다. 실제로 주어진 리만 서피스 x 와 그 세트 a, * * * 멍에세트 b = {f *: f ∝ a} 는 항상 a 와 호환되지 않으므로 x 에 다른 리만 서피스 구조를 부여합니다.
마찬가지로 각 복합 평면의 열린 하위 세트는 자연스럽게 리만 표면으로 간주할 수 있습니다. 일반적으로 각 리만 표면의 열린 하위 세트는 리만 표면입니다.
S = c ≈ {∞} 로 만들고 f(z) = z 로 만듭니다. 여기서 z 는 S \ {∞} 에 속하고 g(z) = 1/z 는 z 에 속합니다. 여기서 z 는 S \ 에 속하고 1/∞ 는 0.f 와 g 를 그림으로 정의합니다 이 특별한 표면을 리만구라고 합니다. 왜냐하면 복면을 공에 감싸는 것으로 해석할 수 있기 때문입니다. 복평면과는 달리, 그것은 단단한 공간이다.
에셔의' 갤러리' 도 리만 표면
리만 곡면은 복수형에 정의된 비수기 대수 곡선과 동등한 것으로 간주할 수 있습니다. 비압축 리만 서피스의 중요한 예는 분석에 의해 연속적으로
제공됩니다두 리만 표면 M 과 N 사이의 함수 F: M → N 은 완전 순수 (holomorphic) 라고 하며, M 의 그림 세트에 있는 각 그림 G 와 N 의 그림 세트에 있는 각 그림 H 에 대해 h o f o g-1 을 매핑하면 C 에서 C 까지의 함수로 정의된 모든 곳에서 완전 순입니다. 두 개의 순수 함수의 복합은 완전히 순수하다. 두 리만 표면 M 과 N 을 등각 등가물 (또는 * * * * 형 등가물 conformally equivalent) 이라고 하며, 이중사 m 에서 n 까지의 완전 순수 함수가 있고 그 역도 완전 순입니다 (마지막 조건은 자동으로 충족되므로 생략할 수 있음). 두 개의 등각이 동등한 리만 표면은 모든 실제 응용에 대해 완전히 동일합니다.
각 단일 연결 리만 표면 및 c 또는 리만 볼 c ≈ {∞} 또는 오픈 디스크 {z ∩ c: | z | lt; 1} 보각은 동등하다. 이 명제를 일치화 정리라고 한다.
연결된 각 리만 표면은 상수 곡률-1,0 또는 1 을 가진 완전한 리만 다양체로 변환할 수 있습니다. 이 리만 구조는 측정값의 확대/축소 외에 유일하다. 곡률 -1 을 갖는 리만 표면을 쌍곡선이라고 합니다. 원반을 여는 것은 고전적인 예이다. 곡률이 0 인 리만 표면을 포물선이라고 합니다. C 는 전형적인 파라볼 릭 리만 표면입니다.
마지막으로 곡률 +1 이 있는 리만 표면을 타원이라고 합니다. 리만구 c ≈ {∞} 는 이런 예이다.
각 닫힌 파라볼 릭 리만 표면의 경우 기본 그룹은 2 차 격자 그룹과 동형이 되므로 표면을 C/γ로 구성할 수 있습니다. 여기서 C 는 복합 평면이고 텅스텐은 격자 그룹입니다. 집합한 대표의 집합을 기준 도메인이라고 한다.
마찬가지로, 각 쌍곡 리만 표면에 대해 기본 그룹은 Fuchsian 그룹과 동형이 되므로 표면은 Fuchsian 모델 H/γ로 구성될 수 있습니다. 여기서 H 는 상반면이고, 텅스텐은 Fuchsian 군입니다. H/γ 동반 세트의 대표는 자유정칙으로 측정 기준 다각형으로 사용할 수 있습니다.
쌍곡선 서피스가 타이트한 경우 서피스의 총 면적은 4\pi(g-1) 입니다. 여기서 g 는 서피스의 격자선 (genus) 입니다. 면적은 Gauss-Bonnet 정리를 기본 다각형의 면적에 적용하여 계산할 수 있다.
앞서 우리는 리만 표면을 언급했는데, 모든 복합 다양체처럼 실제 다양체처럼 방향을 정할 수 있다. 복도 F 와 G 에는 변환 함수 h = f(g-1(z)) 가 있기 때문에 H 는 R2 에서 R2 로의 매핑이라고 생각할 수 있습니다. 점 Z 의 야고비 배열은 복수형 h'(z) 를 곱한 연산에 의해 제공되는 실제 선형 변환입니다. 그러나 복수 α를 곱한 행렬식은 | α | 2 와 같기 때문에 H 의 야고비 행렬에는 양의 행렬식 값이 있다. 따라서, 복화세트는 방향성 그림세트이다.
리만은 리만 표면을 최초로 연구하기 시작했다. 리만 표면은 그의 이름을 따서 명명되었다.