리만 기하학은 비유클리드 기하학의 한 유형으로, "타원 기하학"이라고도 알려져 있습니다.
기초
사람들은 마침내 유클리드 기하학과 다른 새로운 기하학, 즉 비유클리드 기하학이 있다는 것을 깨달았습니다. 얼마 지나지 않아 독일의 리만(Riemann)은 다섯 번째 공리를 또 다른 새로운 공리로 대체하여 또 다른 비유클리드 기하학을 만들었습니다. 리만의 새로운 공리는 "직선 밖의 한 점을 지나면 평행선을 그릴 수 없다"는 것입니다.
수학계는 이 세 가지 기하학이 정확하고 서로 다른 곡률을 가진 공간의 속성을 반영한다는 것을 빠르게 깨달았습니다. 사람들은 Lobachevsky와 Boyer Loche의 기하학을 부르고, Riemann이 만든 기하학을 Riemann의 기하학이라고 부릅니다. 유클리드 기하학은 직선 공간에서의 기하학, 리체 기하학은 양의 곡률을 갖는 공간에서의 기하학, 로슈 기하학은 음의 곡률을 갖는 공간에서의 기하학입니다.
1845년 리만은 괴팅겐대학교에서 "기하학의 기초로서의 가정에 관하여"라는 제목의 첫 강의를 통해 리만 기하학의 탄생을 알렸습니다. 리만은 이 세 가지 기하학을 통합하여 리만 기하학(Riemannian 기하학)이라고 부르며, 이 작업을 활용하여 괴팅겐대학교 수학과에서 보고서를 제출하고 강사직을 구했습니다.
E 이후 비. 크리스토펠, L. 비아노히와 C. G. Ricci et al.은 이를 A로 더욱 개선하고 확장했습니다. 아인슈타인의 일반 상대성 이론(1915) 창설을 위한 강력한 수학적 도구입니다. 그 이후로 리만 기하학, 특히 E. 기하학이 활발하게 발전했습니다. 그가 확립한 외부 미분 형태와 가동틀 방식인 카르탄은 리군과 리만 기하학의 연결을 연결하고 리만 기하학의 심층적 발전에 폭넓은 지평을 열어 심오한 영향을 미쳤다.
지난 반세기 동안 리만 기하학에 대한 연구는 국소에서 전역으로 발전하여 수학의 심오한 분야와 다른 분야(예: 대수 위상학, 편미분 방정식, 다중 복소 교차 이론 등)를 낳았습니다. 함수 등)과 결과는 현대 물리학에서 중요한 역할을 합니다.
내용
리만(Riemann)의 연구는 가우스(Gauss)의 곡면에 대한 암시적 미분 기하학을 기반으로 합니다. 리만 기하학에서 가장 중요한 대상은 3차원에서 소위 일정한 곡률입니다. 공간에는 세 가지 상황이 있습니다. 곡률은 항상 0입니다. 곡률은 음수 상수입니다.
리만은 지적했다. 처음 두 상황은 각각 유클리드 기하학과 로바체프스키 기하학에 해당하고, 세 번째 상황은 리만 자신의 창작으로 또 다른 비유클리드 기하학에 해당한다. 리만의 세 번째 기하학은 유클리드 기하학의 다른 공리와 공리를 그대로 유지하면서 다섯 번째 공리를 "직선 밖의 한 점을 지나 그은 모든 직선은 직선과 교차한다"라는 명제를 전제로 대체하고, 엄격한 논리적 추론을 통해 이를 확립한 것이다. 기하학적 시스템.
이런 종류의 기하학은 "평행선"의 존재를 부정하는 또 다른 새로운 비유클리드 기하학입니다. 이것은 오늘날 좁은 의미의 리만 기하학입니다. 즉, 일반 구의 기하학을 구면 기하학이라고도 합니다. 이 기사는 리만이 죽은 지 2년 후인 1868년에 출판되었습니다.