중학교 수학의 가장 중요한 문제를 마스터하기 위한 10가지 전형적인 예: 중학교 수학의 고전적인 예에 ​​대한 설명

중학교 수학의 최소값 문제를 마스터하기 위한 10가지 일반적인 예

기하 최소값 문제를 해결하는 일반적인 방법은 두 점 사이의 선분이 가장 짧은 것입니다.< /p>

직선 밖의 점과 직선 위의 모든 점을 연결하는 선분 중에서 수직선이 가장 짧습니다.

삼각형의 두 변의 합이 더 큽니다. 세 번째 변 또는 삼각형의 두 변의 차이가 세 번째 변보다 작습니다(겹칠 때 최대값을 취함)

에 따른 기하학적 최적 문제를 해결하기 위한 이론적 기초입니다. 서로 다른 특성을 고려하는 것이 최적의 문제를 해결하는 열쇠입니다. 변환을 통해 변수를 줄임으로써 세 가지 정리에 더 가깝게 문제를 해결할 수 있으며, 기본 모델을 직접 호출하는 것도 기하학적 최적 문제를 해결하는 효율적인 방법입니다.

1. 그림에 표시된 대로 점 P는 ∠AOB 내의 특정 점이고 점 M과 N은 각각 OA와 OB 측면에서 이동합니다. ∠AOB =45°, OP = 그러면 △PMN의 둘레의 최소값은 다음과 같습니다. .

OA와 OB에 대한 P의 대칭점 C와 D를 분석합니다. OC, OD를 연결하세요. 그러면 M, N이 CD와 OA, OB의 교점일 때 △PMN의 둘레가 가장 짧고, 가장 짧은 값이 CD의 길이가 됩니다. 대칭성의 성질에 따르면 △COD가 이등변 직각삼각형임을 증명할 수 있고, 이를 바탕으로 풀 수 있다. 풀이: OA와 OB에 대해 P의 대칭점 C와 D를 구성하십시오. OC, OD를 연결하세요. 그러면 M, N이 CD와 OA, OB의 교점일 때 △PMN의 둘레가 가장 짧고, 가장 짧은 값이 CD의 길이가 됩니다. ∵PC는 OA에 대해 대칭입니다.

∴∠COP =2∠AOP, OC =OP

마찬가지로, ∠DOP =2∠BOP, OP =OD

∴∠COD =∠COP +∠DOP =2 (∠AOP +∠BOP) =2∠AOB =90°, OC =OD. ∴ΔCOD는 이등변 직각삼각형이다. 그다음 CD

.

질문 후의 생각: 이 질문은 대칭의 성질을 조사하는 것입니다. 도형을 올바르게 그리고 △PMN의 최소 둘레 조건을 이해하는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.

2. 그림과 같이 사각형 P ABN의 둘레가 가장 작을 때 a =

분석 AB와 PN의 길이는 고정되어 있으므로 P A +NB의 길이를 구하면 충분합니다. 문제는 P A +NB가 언제 가장 짧은가 하는 것입니다.

점 B를 왼쪽으로 2단위 이동하여 점 B'로 이동하고 x축을 기준으로 B'의 대칭점 B″를 그리고 AB″를 연결한 다음 x축을 P와 교차하여 결정합니다. 포인트 N의 위치입니다. P A +NB가 가장 짧을 때입니다.

직선 AB″의 해석식을 y =kx +b라고 가정하고, 미정계수법을 이용하여 직선의 해석식을 구하면 a의 값을 얻을 수 있습니다.

p>

해결 방법: N 점 설정 P와 일치하도록 왼쪽으로 2단위 이동합니다. 점 B를 B'(2, -1)로 왼쪽으로 2단위 이동합니다. x축 방법에 따르면 점 B ″ (2, 1)을 알고 있습니다. 직선 AB ″의 분석 공식은 y =kx +b,

?1=2k +b라고 가정합니다. 그렇다면?, 해는 k =4, b = -7입니다.

-3=k +b ?

777

∴y =4x -7. y=0일 때, x=즉, P(,0), a=이다.

444

7

따라서 답을 입력하십시오.．

4

질문 후 사고는 X축의 대칭점, 두 점 사이의 가장 짧은 선분 등에 대한 지식을 테스트합니다.

3. 그림과 같이 두 점 A와 B가 직선의 양쪽에 있습니다. 점 A와 직선 사이의 거리 AM =4, 점 B와 직선 사이의 거리 BN =1, MN =4입니다. P는 직선 위의 이동점, |P A - PB의 최대값은 |입니다.

직선 l 위의 점 B의 대칭점 B ′를 분석하면 PB =PB ′이므로 |P A ﹣PB |=|P A ﹣PB ′|, 그러면 A, B ′, P일 때 직선 위에 있을 때 |P A - PB | 값이 가장 크다. 평행선의 선분 정리에 따라 PN과 PM의 값을 구할 수 있고, 이어서 피타고라스의 정리에 따라 P A와 PB'의 값을 구한 후 |P를 구할 수 있다.

A - PB의 최대값 |

해결 방법: 직선 l의 대칭점 B′에 점 B를 작도하고, AB′를 연결하고, 교차하는 직선 l을 P에서 연장합니다. ∴B ′N =BN =1,

점 D를 통해 B ′D ⊥AM을 그리고 피타고라스 정리를 사용하여 AB ′=5 ∴|P A ﹣PB =5의 최대값을 구합니다.

질문 후의 생각 이 질문은 그래프 작성(축 대칭 변환, 피타고라스 정리 등)을 조사합니다. "두 점 사이의 가장 짧은 선분"에 대해 잘 아는 것이 이 질문에 대답하는 열쇠입니다.

4． 실습: 직사각형 종이 ABCD에서 AB =3, AD =5입니다. 그림과 같이 A점이 BC변의 A'에 떨어지도록 종이를 접고, 접힌 부분은 PQ입니다. A'점이 BC변으로 이동하면 접힌 부분의 끝점 P와 Q도 이동합니다. 점 P와 Q가 각각 변 AB와 AD로 이동하도록 제한되어 있으면 점 A'가 BC 변으로 이동할 수 있는 최대 거리는 입니다.

이 질문을 분석하는 핵심은 두 극단, 즉 BA'가 최대값 또는 최소값을 취할 때 P점이나 Q점의 위치를 ​​찾는 것입니다. P점과 B점이 일치할 때 BA'는 최대값 3을 취하고, Q점과 D점이 일치할 때 BA'는 최소값 1을 취한다는 것을 실험을 통해 찾는 것은 어렵지 않다. 따라서 A' 지점이 BC 측으로 이동할 수 있는 최대 거리는 2입니다.

풀이: 점 P와 B가 일치할 때 BA'의 최대값은 3입니다. 점 Q와 D가 일치할 때(그림과 ​​같이) A'C = 4는 피타고라스 정리로부터 구해집니다. , 따라서 BA'가 최소값 1을 취하는 경우.

그러면 점 A'가 모서리 BC에서 이동하는 최대 거리는 3-1=2입니다. 따라서 대답은 다음과 같습니다. 2

질문 후 생각: 이 질문은 학생들의 실습 능력, 그래픽 접기 및 피타고라스 정리의 적용을 테스트합니다. 주로 실습 습관이 부족하고 오로지 상상에만 의존합니다.

5. 그림과 같이 직각 사다리꼴 종이 ABCD, AD ⊥AB, AB =8, AD =CD =4, 점 E와 F는 각각 AB와 AD 선분에 있고, EF를 따라 △AEF를 접고, A 지점의 착륙 지점은 P로 기록됩니다. P가 직각 사다리꼴 ABCD 내부에 있을 때 PD의 최소값은 와 같습니다.

분석 결과는 그림과 같습니다. 분석 및 탐색 결과 피타고라스 정리에 따르면 직경 EF가 가장 크고 A 지점이 BD에 해당하는 경우에만 PD가 가장 작은 것으로 나타났습니다. , BD의 길이를 알 수 있고 문제가 해결될 수 있습니다. 해결 방법: 그림과 같이

∵점 P가 사다리꼴 내부에 있을 때, ∠P =∠A =90°, ∴사변형 PF AE는 EF를 직경으로 하는 원에 내접하는 사변형입니다. ,

p>

∴직경 EF가 가장 크고 A점이 BD에 있는 경우에만 PD가 가장 작습니다. 이때 E와 B점은 질문에서 일치합니다. PE = AB =8, 피타고라스 정리에서: BD 2=82+62=80, ∴BD = ∴PD =8．

질문 후의 생각 이 명제는 직각 사다리꼴을 캐리어로 사용하고 접힘 변환을 방법으로 사용하여 합동 삼각형의 결정과 그 속성의 적용을 해결하는 열쇠를 검토합니다. 문제는 파악이다. 인물의 움직임 중 특정 순간에 움직임은 고요함을 추구하고 고요함을 이용해 브레이크를 밟는다.

6. 그림에 표시된 대로 ∠MON =90°, 직사각형 ABCD의 꼭지점 A와 B는 각각 변 OM과 ON에 있습니다. B가 ON 변으로 이동하면 A가 OM을 따라 이동하고 직사각형의 모양이 변합니다. ABCD는 변경되지 않고 AB =2, BC =1입니다. 이동하는 동안 지점 D에서 지점 O까지의 최대 거리는 다음과 같습니다.

AB의 중점 E를 분석하고 OD, OE, DE를 연결하면 직각삼각형의 빗변의 중심선은 빗변의 절반과 같아지며 OE =AB를 얻을 수 있습니다. DE를 계산하는 피타고라스 정리를 사용하면 삼각형의 두 변의 합이 세 번째 변보다 크다는 사실에 따라 점 E를 통과할 때 OD가 최대가 된다는 것을 알 수 있습니다. 해결 방법: 그림과 같이 AB의 중간점 E를 취하고 OD, OE, DE를 연결합니다. ∵∠MON =90°, AB =2 ∴OE =AE =

1

< p> AB =1, 2

∵BC =1, 사각형 ABCD는 직사각형, ∴AD =BC =1,

∴DE

에 따르면 삼각형의 세 변 관계, OD

+DE,

∴OD가 E 지점을 통과할 때

.

．

질문 후의 생각 이 질문은 직사각형의 성질, 직각삼각형의 빗변의 정중선이 빗변의 절반과 같다는 성질, 삼각형의 세 변의 관계, 피타고라스 정리, 그리고 AB를 통과하는 OD의 중간점 결정 시간 값을 최대화하는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.

7. 그림과 같이 선분 AB의 길이는 4이고, C는 AB 위의 이전 이동점을 각각 빗변으로 삼고 이등변 직각 △ACD와 이등변 직각 △BCE를 그립니다. 그러면 AB 길이의 최소값은 ．

분석: AC =x, BC =4-x라고 가정합니다. 이등변 직각 삼각형의 속성에 따라 CD

= 정리를 얻은 다음 매칭 방법을 사용합니다. 그것을 해결하십시오.

해결 방법: AC =x, BC =4-x,

∵ΔABC, △BCD '는 ​​모두 이등변 직각삼각형, ∴CD

x라고 가정합니다. , CD

′= (4﹣x), 피타고라스 22에 따르면

, CD

′=4﹣x), 121

< p> x + (4﹣x )2=x 2﹣4x +8= (x -2)2+4, 22

∵∠ACD =45°, ∠BCD ′=45° , < /p>

∴∠DCE =90°, ∴DE 2=CD 2+CE 2=

∵2차 함수의 최대값에 따르면,

∴때 x가 2를 취하면 DE는 최소값을 취하며 최소값은 4입니다. 따라서 대답은 다음과 같습니다. 2.

질문 후의 생각 이 문제는 이차함수와 이등변삼각형의 최대값을 조사하는 것입니다. 이차함수의 최대값을 구하는 방법을 익히는 것이 핵심입니다. 8. 그림에 표시된 대로 마름모 ABCD, AB =2, ∠A =120°에서 점 P, Q 및 K는 각각 BC, CD 및 BD 선분의 임의의 점이므로 PK +QK의 최소값은 다음과 같습니다. .

축 대칭을 기반으로 최단 경로를 결정하는 문제를 분석하여 BD를 기준으로 점 P'의 대칭점 P'을 구하고 BD를 연결하는 교차점이 원하는 점 K입니다. 직선 바깥의 한 점을 따라 직선으로 연결되는 모든 선분 중에서 수직선분이 가장 짧다는 성질은 P'Q ⊥CD일 때 PK+QK의 최소값으로 알 수 있으며, 해결되었습니다.

해결 방법: 그림과 같이 ∵AB =2, ∠A =120°, ∴ 지점 P'에서 CD까지의 거리는

∴PK +QK

질문 이후의 생각 이 질문은 마름모의 성질과 축대칭을 바탕으로 최단경로를 결정하는 문제에 대해 살펴본다. 마름모의 축대칭과 축대칭을 이용하여 최단경로를 결정하는 방법을 기억하는 것은 문제 해결의 열쇠.

9. 그림에 표시된 대로 정사각형 ABCD의 변 길이는 1이고 점 P는 변 BC(B 및 C와 일치할 수 있음)의 임의의 점이며 광선 AP의 수직선은 각각 B, C 및 D를 통해 그려집니다. 수직 피트는 각각 B', C', D'이므로 BB'+CC'+DD'의 값 범위는 다음과 같습니다.

분석을 위해 먼저 AC와 DP를 연결합니다. 정사각형 ABCD의 변 길이가 1이면 다음을 얻을 수 있습니다. S △ADP =S △ABP +S △ACP =S △ABC =

11S 정사각형 ABCD =, 22

111

S 제곱 ABCD = 그러면 AP(BB ′+CC ′+DD ′)=1, 1≤AP를 얻을 수 있습니다.

222

답변합니다.

해결책: AC, DP를 연결하세요.

∵ 사변형 ABCD는 정사각형, 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 1, ∴AB =CD, S 정사각형 ABCD =1, ∵S △ADP =

1111S 정사각형 ABCD = , S △ABP +S △ACP =S △ABC =S 정사각형 ABCD =, 2222

∴S △ADP +S △ABP +S △ACP =1,

1111< /p >

AP ?BB ′+AP ?CC ′+AP ?DD ′=AP ?（BB ′+CC

′+DD ′)=1, 2222

2

그러면 BB ′+CC ′+DD ′=,

AP

∵1≤AP

∴

∴P와 B가 일치할 때 P와 C가 일치할 때 최대값은 2입니다.

BB ′+CC ′ +DD'≤2.

BB'+CC'+DD'≤2.

질문 후의 생각 이 질문은 정사각형의 속성, 면적 및 동일 면적 변환을 조사합니다. 이 질문은 어렵습니다. AC와 DP를 연결하는 것이 문제의 핵심입니다. 질문의 의미에 따르면 S △ADP +S △ABP +S △ACP =1이 되고 BB'+CC가 됩니다. ′+DD ′=

< p> 2. AP

10. 그림에서 보는 바와 같이 마름모 ABCD에서 ∠A =60°, AB =3이고, ∠A와 ⊙B의 반지름은 각각 2와 1이며, P, E, F는 변 CD의 이동점, ⊙A와 ⊙ B 그러면 PE +PF의 최소값은 다음과 같습니다.

마름모의 성질과 접하는 두 원의 성질을 분석하고 이를 이용하여 P와 D가 일치할 때 PE+PF의 최소값을 구하고 이를 계산한다. 해결 방법: 질문의 의미로 볼 때 P와 D가 일치하면 E점은 AD에 있고 F점은 BD에 위치하며 이때 PE + PF가 최소가 되어 BD를 연결한다는 결론을 내릴 수 있습니다.

< p> ∵ 마름모 ABCD에서, ∠A =60°,

∴AB =AD, 그러면 △ABD는 정삼각형이고, ∴BD =AB =AD =3,

∵⊙A와 ⊙B의 반경은 각각 2와 1이며, ∴PE =1, DF =2,

∴PE +PF의 최소값은 3입니다. 따라서 대답은 다음과 같습니다. 3.

질문 후의 생각 이 질문은 주로 마름모의 성질과 접하는 두 원의 성질에 대한 지식을 테스트합니다. 질문의 의미에 따르면 점 P의 위치를 ​​찾는 것이 문제를 해결하는 열쇠입니다. 문제.