n의 계승 스털링 공식은 다음과 같습니다:
스털링 공식은 다음과 같은 간결한 표현으로 표현할 수 있습니다: n!≒√(2πn)*(n/e)^ N. 그 중 n!은 n의 계승을 나타내고, π는 pi(대략 3.14159와 동일)이며, e는 자연 로그의 밑(대략 2.71828과 동일)입니다. 스털링의 공식은 계승값을 더 간단한 함수 형태로 변환하여 계산을 더욱 효율적이고 편리하게 만듭니다.
지식 확장:
스털링 공식의 도출 과정과 이론적 기초
스털링 공식은 스코틀랜드 수학자 제임스 스털링(James Stirling)이 18세기 초에 제안했습니다. . 그의 연구는 주로 확률론과 분석수론 분야에 중점을 두고 있습니다.
스털링의 공식이 발견되기 전에는 사람들이 큰 수의 계승을 계산하는 것이 매우 어려웠습니다. 큰 숫자의 계승값을 직접 계산하는 것은 시간이 많이 걸리고 수치 오버플로 문제가 발생하기 쉽습니다. 따라서 많은 수의 계승을 신속하게 추정할 수 있는 방법을 찾는 것이 많은 수학자들의 관심사가 되었습니다. 스털링 공식의 발견은 스털링 로그 공식의 유도와 관련이 있습니다.
스털링의 로그 공식은 1730년경 스털링에 의해 독립적으로 도출되었습니다. 이 공식은 자연 로그 함수의 값을 대략적으로 계산할 수 있으며 스털링 공식 유도에 중요한 이론적 기초를 제공합니다. 스털링 공식의 유도 과정은 상대적으로 복잡하며 수학적 분석과 극한의 개념을 포함합니다. 기본 아이디어는 근사를 위해 Taylor 급수 확장과 함수의 속성을 사용하는 것입니다.
스털링 공식의 유도 과정은 다음과 같습니다
먼저 Taylor 급수 전개를 사용하여 ln(x) 함수를 대략적으로 계산합니다. 여기서 ln(x)는 자연 로그 함수입니다. . Taylor 급수 확장에 따르면, ln(x)≒(x-1)-(x-1)^2/2 (x-1)^3/3-... 다음으로, ln(x)를 대체합니다. 위의 공식을 사용하고 x를 n 1로 바꾸면 ln(n 1)≒n-n^2/2 n^3/3-...
그런 다음 지수 함수의 속성을 사용합니다. 위 수식의 자연로그를 지수형, 즉 e^(ln(n 1))≒e^(n-n^2/2 n^3/3-...)으로 변환합니다. 또한 지수함수와 로그함수를 사용합니다. 관계식을 사용하면 위 공식을 (n 1)≒e^n*e^(-n^2/2 n^3/3-...)으로 다시 쓸 수 있습니다.
Stirling의 공식에 따르면 정의 의 형태로 e^(-n^2/2 n^3/3-...)을 √(2πn)으로 근사화할 수 있습니다. 따라서 스털링의 공식은 n!≒√(2πn)*(n/e)^n으로 표현될 수 있습니다.