시리즈는 일련의 항목을 더하기 기호로 연결하는 함수입니다. 예를 들어,
는 많은 항목에 의해 추가되는 이 형태가 바로 급수이다.
함수의 경우 다음과 같은 형식입니다.
엔지니어링에서는 다양한 주기적인 파형을 자주 접하게 됩니다. 이 파형들은 그를 표현할 함수를 찾기가 어렵거나, 원함수가 파동의 특징을 잘 분석할 수 없다.
그래서 우리는 함수를 찾아 원함수를 근사화해야 하는데, 이것은 아주 좋은 특징을 가지고 있어 쉽게 분석할 수 있다.
프랑스 수학자 푸리엽은 모든 주기 함수가 사인 함수와 코사인 함수로 구성된 무한 급수로 표현될 수 있다는 것을 발견했다.
이 문장을 이해하기 위해 움직이는 그림을 보세요.
오른쪽 웨이브 형상은 왼쪽 몇 개의 기본 웨이브 형상 (삼각 함수) 으로 합성됩니다.
아래에 푸리에 급수의 수학 공식이 나와 있습니다.
원래 함수는 무수히 많은 수로 구성되어 있습니다. 이 공식도 이해하기 쉽고 상수입니다. 사인과 코사인 함수는 모두 0 시 위치에서 위아래로 변동하기 때문에 0 에서 벗어나려면 이 오프셋 항목을 추가해야 합니다. 물론 당신도 이해할 수 있습니다.
는 수많은 sin 과 cos 의 조합이며, 이는 위 동적 그림의 진폭, 즉 원 반지름의 크기와 같습니다. 움직이는 그림의 앞의 계수 1,3,5,7 은 주파수, 즉 원을 한 바퀴 도는 속도를 나타냅니다. 소, 이해하기 쉽지 않아요.
는 이 주파수를 나타냅니다. 여기서 무엇을 의미합니까? 함수의 주기입니다. 이 주기는 주기적인 파형을 만드는 역할을 합니다. 다만 커지면서 파동의 빈도가 점점 높아지고 있습니다. (데이비드 아셀, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 함수명언) 예를 들어, 모두 주기의 함수이지만, 단지 가장 작은 주기는 그렇지 않기 때문에 주파수가 커진다.
여기서 푸리에 급수는 주기 함수에 대한 것이고 비주기적인 함수는 푸리에 변환이라는 점을 강조한다.
많은 블로거들이 푸리에 급수를 해석할 때 시간 영역, 주파수 임계값, 복소 주파수 영역, 오일러 공식을 말한다. 사실 그것들은 모두 다른 장면에서의 다른 표현이며, 본질은 모두 같다. 위의 공식을 먼저 이해하고 이를 바탕으로 전개하면 더 쉽게 이해할 수 있다.
우리 목표 기억나? 함수를 찾아 원래 함수를 근사화하면 이미
< P > 우리는 구하기만 하면 얻을 수 있다.
< P > < P > < P > < P > 원래 함수가 어떤 것인지 우리는 알지 못하지만, 우리는 각 X 에서의 가치를 알고 있다. 결국 이 파동은 우리 스스로 샘플링한 것이다.
따라서 해결하는 가장 쉬운 방법은 위와 같이 N 개의 방정식 방정식을 구축하고 N 원 1 차 방정식을 푸는 것입니다. 여기는 상수로, 득량은 스스로 정의한다.
물론 위는 초등학생의 해법입니다. 모두 진지하게 받아들이지 마세요.
푸리에 급수에 대한 해석을 소개하기 전에
에 해당하는 해답은 다음과 같습니다.
이러한 해석을 구하려면 먼저 아래 삼각 함수를 이해해야 합니다
직교란 무엇입니까? 선형 대수학에서 직교는 다음 그림 (A) 과 같이 두 벡터가 수직입니다.
및 직교, 즉 두 벡터의 내부 곱은 0
와 같고 함수에 대한 직교는 적분의 형태로 표시됩니다.
여기서 는 의 내부 곱이고 0 이면 두 가지를 설명합니다
푸리에 급수로 돌아가면 푸리에 급수의 모든 삼각 함수 집합이 아래에 표시됩니다.
{}
두 개의 삼각 함수는 특정 조건에서 과 사이에 직각입니다. 자세한 내용은 다음과 같습니다.
증명 인터넷에 많은 것들이 있습니다.
아래 위의 특성을 사용하여
를 이어받아 함수 양쪽을 동시에 적립하는 방법
를 앞으로 이동하는 방법을 살펴봅니다.
여기서 볼 수 있듯이 앞의 직교성에 따라 둘 다 0 이므로 위의 함수는
와 같습니다. 따라서:
아래에서
< 를 해석합니다마찬가지로 직교성에 따라 0 입니다. 유일한 항목은 0 이 아니며 다른 항목도 0 이 됩니다. 그래서:
는 직교성에 대해 제가 제시했습니다. 그래서:
정보 방법은 같습니다
위는 푸리엽 급수가 해결되는 과정이지만 여기서는 주파수를 정의합니다.
푸리에 급수를 임의의 주기로 확장하는 방법, 푸리에 변환, 쉽게 이해할 수 있는 푸리에 급수 및 푸리에 변환 (2)
에 자세히 설명되어 있습니다.