급수는 시리즈의 항목을 차례로 더하기 기호로 연결하는 함수입니다. 예를 들면
이런 많은 항목에 의해 더해진 형식은 바로 급수이다.
함수의 경우 다음과 같습니다.
공사에서 우리는 각종 주기적인 파형을 자주 만난다. 이 파형들은 그를 표현할 함수를 찾기가 어렵거나, 원함수가 파동의 특징을 잘 분석할 수 없다.
그래서 우리는 함수를 찾아 원함수를 근사화해야 하는데, 이것은 아주 좋은 특징을 가지고 있어 분석하기에 편리하다.
프랑스 수학자 푸리에 (푸리에) 는 어떤 주기 함수도 사인 함수와 코사인 함수로 구성된 무한 급수로 표현할 수 있다는 것을 발견했다.
이 문장을 이해하기 위해 움직이는 그림을 보세요.
오른쪽의 웨이브 형상은 왼쪽의 몇 가지 기본 웨이브 형상 (삼각 함수) 으로 합성됩니다.
푸리에 급수의 수학 공식은 다음과 같습니다.
원래 함수는 무수히 많은 수로 구성되어 있다. 이 공식도 이해하기 쉽고 상수입니다. 사인과 코사인 함수는 모두 0 시 위치에서 위아래로 변동하기 때문에 0 에서 벗어나려면 이 오프셋 항목을 추가해야 합니다. 물론 당신도 이해할 수 있습니다.
수많은 sin 과 cos 의 조합입니다. 이 조합은 위 동적 그림의 진폭, 즉 원 반지름의 크기와 같습니다. 움직이는 그림의 앞의 계수 1,3,5,7 은 주파수, 즉 원을 한 바퀴 도는 속도를 나타냅니다. 소, 이해하기 쉽지 않아요.
이 주파수를 나타냅니다. 그 중 어떤 것을 의미할까요? 함수의 주기입니다. 이 주기는 주기적인 파형을 만드는 역할을 합니다. 다만 커지면서 파동의 빈도가 점점 높아지고 있습니다. (데이비드 아셀, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 함수명언) 예를 들어, 모두 주기의 함수이지만, 단지 가장 작은 주기는 그렇지 않기 때문에 주파수가 커진다.
여기서 강조한 바와 같이, 푸리에 급수는 주기 함수에 대한 것이고, 비주기 함수에 대해서는 푸리에 변환이다. (알버트 아인슈타인, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 계절명언)
많은 블로거들은 푸리에 급수를 해석할 때 시간 영역, 주파수 임계값, 복잡한 주파수 영역, 오일러 공식에 대해 이야기한다. 사실 그것들은 모두 다른 장면에서의 다른 표현이며, 본질은 모두 같다. 위의 공식을 먼저 이해하고 이를 바탕으로 전개하면 더 쉽게 이해할 수 있다.
우리 목표 기억나? 함수를 찾아 원래 함수를 근사화하는데, 이미 있는 것 같다:
우리는 구하기만 하면 얻을 수 있다.
그래서 여기에 전제가 있습니다. 우리는 해결해야 할 파형을 보고 있습니다:
원래 함수가 어떤 것인지 우리는 알지 못하지만, 우리는 각 X 에서의 값을 알고 있다. 결국 이 파동은 우리 스스로 샘플링한 것이다.
그래서 해결하는 가장 쉬운 방법은 N 개의 방정식 방정식을 구축하고 N 원 1 차 방정식을 푸는 것입니다. 여기는 상수로, 득량은 스스로 정의한다.
물론 위는 초등학생의 해법이니, 모두들 진지하게 받아들이지 마라.
푸리엽급수의 해법을 소개하기 전에, 주기적인 푸리엽급수를 먼저 살펴보고,
로 가져오도록 하겠습니다.해당 솔루션은
입니다이러한 솔루션을 구하려면 먼저 삼각 함수의 직교성을 이해해야 하며, 삼각 함수의 직교를 이해하는 것이 주기 함수부터 시작하는 것이 가장 좋습니다.
직교란 무엇입니까? 선형 대수학에서 직교는 다음 그림 (A) 과 같이 두 벡터가 수직입니다.
직교하면 두 벡터의 내부 곱이 0
와 같다는 것을 알 수 있다함수상의 직교는 적분의 형태로 표현됩니다:
그 중 하나는 내부 곱으로, 0 일 때 두 함수가 구간 내에서 직교한다는 것을 의미합니다.
푸리에 급수로 돌아가면, 아래는 푸리에 급수의 모든 삼각 함수 집합이다.
{}
임의의 두 삼각 함수는 특정 조건 하에서 와 사이에 직각을 이룹니다. 자세한 내용은 다음과 같습니다.
인터넷에 많은 증거가 있다는 것에 대해서는 여기서 자세히 설명하지 않겠습니다.
위의 특성을 사용하여
를 연결하는 방법을 살펴 보겠습니다함수 양쪽을 동시에 통합
앞으로 이동합니다.
여기서 볼 수 있듯이 앞의 직교성에 따라 둘 다 0 이므로 위의 함수는
와 같습니다그래서:
다음 해결 방법
양쪽을 곱하고 양쪽을 동시에 적립하다
앞으로 이동합니다.
마찬가지로 직교성에 따라 0 입니다. 유일한 항목은 0 이 아니고 다른 것도 0 이므로:
직교성에서 제가 줬기 때문에:
구법에 관한 것은 똑같이 얻은 것이니, 여기서는 자세히 설명하지 않겠다.
위는 푸리엽 급수가 해결되는 과정이지만, 여기서 우리가 정의한 주파수는.
푸리에 급수를 임의의 주기로 확장하는 방법, 푸리에 변환, 쉽게 이해할 수 있는 푸리에 급수 및 푸리에 변환 (2)
에서 자세히 소개하겠습니다. 위의 내용이 도움이 되었으면 합니다.