제 1 장 집합 (jihe) 및 함수 개념
첫째, 컬렉션 (jihe) 관련 개념
1, 컬렉션의 의미: 특정 지정된 오브젝트 세트가 함께 모여 컬렉션이 되며 각 오브젝트를 요소라고 합니다.
2, 컬렉션의 중간 요소의 세 가지 특성:
1. 요소 확실성 원소의 상호 이성애; 3. 요소의 불연속성
설명: (1) 주어진 컬렉션의 경우 컬렉션의 요소가 결정되며, 모든 객체 또는 지정된 컬렉션의 요소가 아닙니다.
(2) 주어진 컬렉션에서 두 요소는 서로 다른 객체이며, 동일한 객체가 하나의 컬렉션으로 그룹화되면 하나의 요소만 계산됩니다.
(3) 집합 안의 원소는 동등하고, 선착순이 없으므로, 두 컬렉션이 같은지 여부를 판단하고, 해당 요소가 같은지 비교하기만 하면 됩니다. 정렬 순서가 같은지 확인할 필요가 없습니다.
(4) 집합 요소의 세 가지 특성은 집합 자체에 확실성과 무결성을 부여합니다.
3. 집합표현: {...} 예를 들면 {우리 학교 농구선수}, {태평양, 대서양, 인도양, 북극해 }
1. 라틴 알파벳으로 집합 표시: A={ 우리 학교 농구선수}, b = {1,2,3,4,5}
컬렉션의 표현: 열거 방법 및 설명 방법.
참고: 자주 사용하는 숫자 세트와 표기법:
음수가 아닌 정수 세트 (즉, 자연수 세트) 는 다음과 같이 기록됩니다. N
양의 정수 세트 N* 또는 N+ 정수 세트 z 유리수 세트 q 실수 세트 R
"소유" 에 대한 개념
컬렉션의 요소는 일반적으로 소문자 라틴 문자로 표시됩니다. 예를 들어, A 는 컬렉션 A 의 요소이고, A 는 컬렉션 A 에 속하며, 반대로 A 는 컬렉션 A 에 속하지 않습니다. A 는 A 로 기록됩니까? A
열거법: 집합 안의 원소들을 일일이 열거한 다음 중괄호로 묶는다.
설명 방법: 집합 내 요소의 공용 * * * 속성을 설명하고 중괄호 안에 집합을 나타내는 방법을 씁니다. 특정 객체가 이 컬렉션에 속하는지 여부를 결정 조건으로 나타내는 방법입니다.
① 언어 묘사법: 예: {직각 삼각형이 아닌 삼각형 }
② 수학 공식 설명 방법: 예: 불평등 x-3gt; 2 의 솔루션 세트는 {x? R | x-3gt; 2} 또는 {x | x-3gt; 2}
4, 컬렉션 분류:
1. 제한된 세트에 제한된 수의 요소가 포함된 집합
2. 무한대 세트 무한 요소가 포함된 집합
3. 빈 세트에 요소가 없는 세트의 예: {x | x2 =-5}
둘째, 집합 간의 기본 관계
1. "포함" 관계-하위 집합
참고: (1)A 가 b 의 일부인 두 가지 가능성이 있습니다. (2)A 와 b 는 같은 집합이다.
반대로 세트 a 는 세트 b 에 포함되지 않거나 세트 b 에 세트 a 가 포함되지 않고 A B 또는 B A
로 기록됩니다2. "동일" 관계 (5≥5 및 5≤5, 5=5)
인스턴스: 설정 a = {x | x2-1 = 0} b = {-1,1} "요소 동일"
결론: 두 개의 집합 A 와 B 의 경우 집합 A 의 요소가 집합 B 의 요소이고 집합 B 의 모든 요소가 집합 A 의 요소이면 집합 A 가 집합 B 와 같다고 합니다. 즉, A=B
① 어떤 집합이든 그 자체의 하위 집합이다. A? A
② 진정한 하위 집합: a 인 경우? B, 그리고 a? B 집합 a 는 집합 b 의 진정한 하위 집합이며 A B (또는 B A)
로 기록됩니다③ a 라면? B, b? C, 그럼 a? C
④ a 라면? B 동시 b? A 그럼 A=B
3. 요소가 없는 모음을 빈 세트라고 하며 φ
로 기록됩니다규정: 빈 세트는 모든 컬렉션의 하위 세트이고 빈 세트는 비어 있지 않은 컬렉션의 실제 하위 세트입니다.
셋째, 집합 연산
1. 교차의 정의: 일반적으로 a 에 속하고 b 에 속하는 모든 요소로 구성된 집합, a, b 의 교차.
A∩B ('a 교부 b' 로 읽음), 즉 a ∩ b = {x | x ∩ a, x ∩ b} ..
라고 적는다2, 합집합 정의: 일반적으로 집합 A 또는 집합 B 에 속하는 모든 요소로 구성된 집합을 A, B 의 합집합이라고 합니다. A ∩ b ("a 와 b" 로 읽음), a ∩ b = {x | x ∩ a 또는 x ∩ b} ..
3, 교차 및 결합의 특성: A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A, a = a,
A∪φ= A, a ∩ b = b ∩ a.
4, 전집 및 보충 교재
(1) 보완 세트: S 는 집합이고, A 는 S 의 하위 세트 (즉) 로, S 에서 A 에 속하지 않는 모든 요소로 구성된 집합, S 의 하위 세트 A 의 보완 세트 (또는 나머지 세트)
기록: CSA 는 CSA ={x? X? S 와 x? A}
(2) 전집: 집합 S 에 우리가 연구해야 할 각 집합의 모든 요소가 포함되어 있다면, 이 집합은 하나의 전집으로 볼 수 있다. 일반적으로 u 로 표시됩니다.
(3) 특성: ⑴ Cu (c ua) = a ⑵ (c ua) ≈ a = φ Φ (cua) ≈ a = u
둘째, 함수의 관련 개념
1. 함수의 개념: A, B 가 비어 있지 않은 수 세트를 설정합니다. 특정 대응 관계 F 에 따라 집합 A 중 임의의 수 X 에 대해 집합 B 에 고유한 수 f(x) 가 있는 경우 F: A → B 는 집합 A 에서 집합 B 까지의 함수라고 합니다. 기록됨 X 값에 해당하는 y 값을 함수 값이라고 하고 함수 값 집합 {f (x) | x ∝ a} 를 함수 범위.
라고 합니다참고: ○2 분석 공식 y=f(x) 만 제공하고 해당 도메인을 나타내지 않는 경우 함수의 정의 필드는 이 식을 의미 있게 만들 수 있는 실수의 모음입니다. ○3 함수의 정의 도메인, 범위는 집합이나 구간의 형태로 써야 한다.
도메인 보완 정의
함수식의 의미 있는 실수 X 의 집합을 함수의 정의필드라고 하며, 함수의 정의필드를 구할 때 열 부등식 그룹의 주요 근거는 (1) 분수의 분모가 0 이 아니라는 것이다. (2) 짝수 제곱근의 개측 수는 0 보다 작지 않다. (3) 대수식의 진수는 0 보다 커야 한다. (4) 지수, 대수식의 밑부분은 0 보다 커야 하고 1 과 같지 않아야 한다. (5) 함수가 4 개의 연산을 통해 결합된 기본 함수라면, 그 정의는 각 부분을 의미 있는 X 의 값으로 구성된 집합이다. (6) 지수가 0 이면 0 (6) 실제 문제 중 함수의 정의역과 같을 수 없다
(참고: 부등식 그룹의 해법을 구하는 것이 함수의 정의 도메인입니다. )
2. 함수를 구성하는 세 가지 요소: 정의 도메인, 대응 및 값 도메인
다시 한 번: (1) 함수를 구성하는 세 가지 요소는 정의 도메인, 대응 관계 및 값 필드입니다. 값 필드는 정의 도메인 및 대응 관계에 의해 결정되므로 두 함수의 정의 도메인 및 대응 관계가 정확히 일치하는 경우 두 함수가 같음 (또는 동일한 함수) (2) 두 함수가 동일하고 해당 정의 도메인 및 대응인 경우에만 동일함 동일한 함수의 판단 방법: ① 표현식은 동일합니다. ② 정의 도메인 일관성 (두 점이 모두 있어야 함)
(교과서 21 면 관련 사례 2 참조)
범위 보충
(1), 함수의 범위는 정의 필드와 해당 법칙에 따라 달라집니다. 어떤 방법을 사용하든 함수의 범위를 먼저 고려해야 합니다. (2). 함수, 이차 함수, 지수, 대수 함수 및 각 삼각 함수의 값 필드를 잘 알고 있어야 합니다. 복잡한 함수 값 필드를 해결하는 기초입니다.
함수 이미지 지식 요약
(1) 정의: 평면 직각 좌표계에서 함수 y=f(x), (x ∝ a) 의 x 는 가로좌표이고 함수 값 y 는 세로좌표인 점 P(x, y) 의 집합 c 를 함수 y=f(x) 라고 합니다
C 에 있는 각 점의 좌표 (x, y) 는 함수 관계 y=f(x) 를 충족하며, 그 반대는 y=f(x) 의 각 정렬된 실수 쌍 x, y 가 좌표인 점 (x, y) 을 만족시키기 위해 c 에 있습니다
이미지 C 는 일반적으로 매끄러운 연속 곡선 (또는 선) 이거나 임의의 평행 및 Y 축과 최대 하나의 교차점이 있는 여러 곡선 또는 불연속 점으로 구성될 수 있습니다.
(2) 화법
A, 설명 방법: 함수 분석 공식 및 정의 필드에 따라 x, y 의 해당 값 중 일부를 구하고 (x, y) 를 좌표로 사용하여 좌표계 내에서 해당 점 P(x, y) 를 그린 다음 부드러운 곡선을 사용하여 점을 연결합니다.
B, 이미지 변환 방법 (필수 4 삼각 함수 참조)
일반적인 변환 방법에는 변환 변환, 확장 변환 및 대칭 변환
의 세 가지가 있습니다(3) 역할:
1, 함수의 성격을 시각적으로 볼 수 있습니다; 2, 문제 해결 아이디어를 분석하기 위해 숫자 조합 방법을 사용하십시오. 문제 해결 속도를 높이다.
문제 해결의 오류를 발견하다.
4. 빨리 가서 구간 개념 이해
(1) 간격 분류: 열린 간격, 닫힌 간격, 반 열린 반 닫힌 간격; (2) 무한 간격; (3) 구간의 수축 표현.
5. 매핑
이란 무엇입니까일반적으로 A, B 는 비어 있지 않은 두 개의 컬렉션입니다. 특정 대응 규칙 F 에 따라 집합 A 의 요소 X 에 대해 집합 B 에 고유한 요소 Y 가 있는 경우 해당 F: A B 를 집합 A 에서 집합 B 로의 매핑이라고 합니다. "f: a b"
세트 A 에서 B 로의 매핑이 주어지고, A, B, B 가 요소 A 와 요소 B 에 해당한다면, 우리는 요소 B 를 요소 A 의 코끼리라고 부르고, 요소 A 를 요소 B 의 원상
이라고 부른다.설명: 함수는 특별한 매핑이고, 매핑은 특별한 매핑이며, ① 집합 A, B, 대응 법칙 F 는 확정된다. ② 대응 법칙에는' 방향' 이 있다. 즉 집합 A 에서 집합 B 로의 대응을 강조하는 것이다. 이는 B 에서 A 로의 대응 관계와는 일반적으로 다르다. ③ 매핑 F: A → B 의 경우, (I) 집합 A 의 각 요소는 집합 B 에 코끼리가 있고, 코끼리는 유일하다. (II) 집합 A 의 다른 요소, 집합 B 의 해당 이미지는 동일할 수 있습니다. (III) 집합 B 의 모든 요소가 집합 A 에 원상을 가질 필요는 없습니다.
6. 일반적으로 사용되는 함수 표현 및 각각의 장점:
○1 함수 이미지는 연속 곡선이거나 선, 폴리라인, 이산점 등이 될 수 있습니다. 그래픽이 함수 이미지의 근거인지 확인하십시오. ○2 분석 방법: 함수의 정의 영역을 표시해야합니다. ○3 이미지법: 묘사법도 주의: 함수의 정의 도메인 결정; 단순화 함수의 분석 공식; 함수의 특성을 관찰하십시오. ○4 목록법: 선택한 인수는 대표적이어야 하며, 정의도메인의 특징을 반영할 수 있어야 한다.
참고: 분석 방법: 함수 값을 쉽게 계산할 수 있습니다. 목록 방법: 함수 값을 쉽게 찾을 수 있습니다. 이미지 방법: 함수 값 측정 용이
보충 1: 세그먼트 함수 (교과서 p24-25 참조)
정의 도메인의 여러 부분에 서로 다른 구문 분석 표현식이 있는 함수입니다. 서로 다른 범위에서 함수 값을 구할 때 인수를 해당 표현식으로 대체해야 합니다. 세그먼트화 함수의 분석식은 몇 가지 다른 방정식으로 쓸 수 없고, 함수 값에 대해 여러 가지 다른 표현식을 쓰고, 왼쪽 중괄호로 묶고, 각 부분의 인수 값을 각각 표시한다. (1) 세그먼트화 함수는 함수입니다. 이를 여러 함수로 오인하지 마십시오. (2) 세그먼트 함수의 정의 필드는 각 세그먼트 정의 필드의 합집합이고, 값 필드는 각 세그먼트 값의 합집합입니다.
보충 2: 복합 함수
Y=f(u), (u ∝ m), u=g(x), (x ∝ a) 인 경우 y=f[g(x)]=F(x)
예: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7. 함수 단조 로움
(1). 추가 함수
함수 y=f(x) 의 정의 필드를 I 로 설정합니다. 정의 도메인 I 내의 간격 d 내에 있는 두 개의 인수 x1, x2 에 대해 x1lt；; X2 에서는 f (x1) lt 가 있습니다. F(x2) 는 f(x) 가 구간 D 에서 추가 함수라고 합니다. 간격 D 는 y=f(x) 의 단조로운 간격 (교과서의 단조로운 간격 개념 확인)
간격 D 에 있는 두 인수의 값 x1, x2 에 대해 x1lt；; X2 에는 f(x1) > f (x2) 가 있으면 f (x) 는 이 구간에서 빼기 함수라고 한다. 구간 d 는 y=f(x) 라고 하는 단조로운 마이너스 구간.
참고: ○1 함수의 단조 로움은 정의 도메인 내의 특정 간격에서의 특성이며 함수의 로컬 특성입니다.
0 2 는 구간 D 내의 두 인수 x1, X2 에 대한 것이어야 합니다. X1lt；; X2 에서는 항상 f (x1) lt 가 있습니다. F(x2) 입니다.
(2) 이미지의 특징
함수 y=f(x) 가 특정 구간에서 증함수 또는 감함수 인 경우 함수 y=f(x) 는 이 구간에서 (엄격한) 단조로움을 가지며, 단조로운 구간에서 함수를 늘리는 이미지는 왼쪽에서 오른쪽으로 올라가고 감함수 이미지는 왼쪽에서 오른쪽으로 내려갑니다. < /p
(3). 함수 모노톤 간격 및 단조 로움 결정 방법
(a) 정의법:
01 은 x1, x2 ∩ d, x1lt； 를 임의로 취한다. X2; ○2 차이 f (x1)-f (x2); ○3 변형 (일반적으로 인수 분해 및 제형); ○4 정호 (즉, 판단 차이 f (x1)-f (x2) 의 양수 및 음수); ○5 결론 (주어진 구간 D 에서 함수 f(x) 의 단조로움을 나타냄).
(b) 이미지 방법 (이미지에서 높이 올리기) _
(c) 복합 함수의 단조 로움
복합 함수 f[g(x)] 의 단조 로움은 그것을 구성하는 함수 u=g(x), y=f(u) 의 단조 로움과 밀접한 관련이 있으며, 그 법칙은 다음과 같습니다:
함수의 단조 로움
U=g(x) 증가 및 감소
Y=f(u) 증감 증감
Y=f[g(x)] 증가/감소 증가
참고: 1, 함수의 단조로운 구간은 그 정의 도메인의 하위 구간일 뿐, 단조와 같은 구간을 합집합으로 쓸 수는 없다. 2, 우리가 선택 과목에서 배우기 쉬운 도수법을 배워서 단조로움을 판정한 것을 기억하시나요?
8. 함수의 패리티
(1) 짝수 함수
일반적으로 함수 f(x) 의 정의 도메인 내에 있는 모든 x 에 f (-x) = f(x) 가 있는 경우 f (x) 를 짝수 함수라고 합니다.
(2) .. 기함수
일반적으로 함수 f(x) 의 정의 도메인 내에 있는 모든 x 에 f (-x) =-f(x) 가 있으면 f (x) 를 홀수 함수라고 합니다.
참고: ○1 함수는 홀수 또는 짝수 함수를 함수의 패리티라고 하며, 함수의 패리티는 함수의 전체 특성입니다. 함수에는 패리티가 없을 수도 있고, 짝수 함수일 수도 있다.
○2 함수의 패리티 정의에서 알 수 있듯이, 함수가 패리티를 갖는 데 필요한 조건 중 하나는, 정의 도메인 내의 모든 X 에 대해-X 도 반드시 정의 도메인 내의 인수 (즉, 정의 도메인이 원점에 대해 대칭임).
(3) 패리티가 있는 함수의 이미지 특징
Y 축 대칭에 대한 짝수 함수의 이미지; 원기 함수의 이미지는 원점을 기준으로 대칭이다.
요약: 함수 패리티를 판단하는 형식 단계를 정의합니다. 01 먼저 함수의 정의 필드를 결정하고 해당 정의 필드가 원점에 대해 대칭인지 여부를 결정합니다. ○2 f (-x) 와 f(x) 의 관계를 결정한다. ○3 f (-x) = f(x) 또는 f (-x)-f (x) = 0 이면 f (x) 는 짝수 함수라는 결론을 내린다. F (-x) =-f(x) 또는 f (-x)+f (x) = 0 인 경우 f (x) 는 홀수 함수입니다.
참고: 함수 정의 도메인 원점 대칭에 대한 함수가 패리티를 갖는 데 필요한 조건입니다. 먼저 함수의 정의 필드가 원점 대칭에 관한 것인지, 비대칭인 경우 함수가 비이기적인 함수인지 확인합니다. 대칭인 경우 (1) 정의에 따라 판단합니다. (2) f (-x) = f (x) 를 결정하기가 어려울 때가 있다. f (-x) f (x) = 0 또는 f (x)/f (-x) = (3) 정리를 이용하거나 함수의 이미지로 판정한다.
9, 함수 구문 분석 표현식
(1). 함수의 분석식은 함수를 나타내는 방법으로, 두 변수 사이의 함수 관계를 요구할 때, 하나는 이들 사이의 대응 법칙을 요구하고, 다른 하나는 함수의 정의 도메인을 요구하는 것이다.
(2). 함수의 분석식을 구하는 주요 방법은 대기 중인 계수법, 교환법, 소멸법 등이다. 함수 분석식의 구조가 알려진 경우 대기 중인 계수법을 사용할 수 있다. 복합 함수 f[g(x)] 에 대한 표현식을 알고 있을 때 대체 방법을 사용할 수 있습니다. 이때 요소의 값 범위에 주의해야 합니다. 표현식이 더 간단하다는 것을 알고 있을 때도 콤비네이션 방법을 사용할 수 있습니다. 추상 함수 표현식이 알려진 경우 방정식 제거 방법을 사용하여 f(x)
10. 함수의 최대 (작은) 값 (교과서 p36 페이지에 정의)
0 1 2 차 함수의 특성 (일치 방법) 을 이용하여 함수의 최대 (작은) 값 0 2 이미지를 이용하여 함수의 최대 (작은) 값 0 3 을 이용하여 함수의 단조를 판단하는 함수의 최대 (작은) 값: 함수 y=f(x) 가 간격 [a] 함수 y=f(x) 가 간격 [a, b] 에서 단조롭게 감소하고 간격 [b, c] 에서 단조롭게 증가하는 경우 함수 y=f(x) 는 x=b 에서 최소값 f (b) 를 가집니다.
제 2 장 기본 초등 함수
첫째, 지수 함수
(a) 지수와 지수 제곱의 연산
1. 근식의 개념: 일반적으로, 그렇다면, 차근근 (n th root) 이라고 합니다. 여기서 GT 는 1 및 ∩ *.
홀수인 경우 양수의 제곱근은 양수이고, 음수의 제곱근은 음수이다. 이때 제곱근은 기호로 표시됩니다. 식을 근식 (radical) 이라고 하고, 여기서 근지수 (radical exponent) 라고 하며, 개측수 (radicand) 라고 합니다
짝수인 경우 양수의 제곱근은 두 개이며, 이 두 숫자는 서로 반대이다. 이때 양수의 양수 제곱근은 기호로 표시되고, 음수 제곱근은 기호로 표시됩니다. 양수 제곱근과 음수 제곱근은 (GT; 0). 이로부터 얻을 수 있다: 음수에는 짝수 제곱근이 없다. 0 의 모든 제곱근은 0 으로 기록됩니다.
참고: 홀수인 경우 짝수인 경우
2. 분수 지수 전력
양수의 분수 지수 제곱의 의미, 규정:
,
0 의 양수 분수 지수 거듭제곱은 0,0 의 음수 분수 지수 거듭제곱은 의미가 없다
지적: 분수 지수 거듭제곱의 의미를 정하면 지수의 개념이 정수 지수에서 유리수 지수로 확대된다. 그러면 정수 지수 거듭제곱의 연산 특성도 유리수 지수 거듭제곱으로 확대될 수 있다.
3. 실수 지수 거듭제곱의 연산 특성
(1)? 을 눌러 섹션을 인쇄할 수도 있습니다
(2);
(3) ..
(b) 지수 함수 및 그 특성
1, 지수 함수의 개념: 일반적으로 함수는 지수 함수 (exponential function) 라고 합니다. 여기서 x 는 인수이고 함수의 정의 필드는 R.
입니다참고: 지수 함수의 밑수 범위는 음수, 0, 1.
일 수 없습니다2, 지수 함수의 이미지와 특성
Agt；; 1 0lt；; Alt；; 1
이미지 특징 함수 특성
X 축, y 축 양수 및 음수 방향으로 함수를 무한히 확장하는 범위는 R
입니다이미지 원점 및 y 축 비대칭 비 패리티 함수 정보
함수 이미지가 x 축 위에 있는 함수의 범위는 R+
입니다함수 이미지가 모두 점 (0,1)
을 통과합니다왼쪽에서 오른쪽으로 봐,
이미지가 점차 상승하고 왼쪽에서 오른쪽으로,
이미지 점진적 감소 증가 함수 감소 함수
첫 번째 사분점 내의 이미지 세로좌표는 모두 1 보다 큽니다. 첫 번째 사분점 내의 이미지 세로좌표는 모두 1
보다 작습니다두 번째 사분점 내의 이미지 세로좌표는 모두 1 보다 작습니다. 두 번째 사분점 내의 이미지 세로좌표는 모두 1 보다 큽니다
이미지 상승 추세는 점점 더 가파르고 가파른 이미지 상승 추세다. 함수 값이 점점 느려지기 시작하고, 어떤 값에 이르면 성장이 매우 빠르다. (윌리엄 셰익스피어, 윈스턴, 이미지, 이미지, 이미지, 이미지, 이미지) 함수 값은 매우 빠르게 감소하기 시작하고, 특정 값에 도달하면 감소하는 속도가 느립니다.
참고: 함수의 단조 로움을 사용하면 이미지와 함께
를 볼 수 있습니다.(1) [a, b] 에서 범위는 또는 입니다.
(2) 그렇다면; 모든 양수를 통과하고,
(3) 지수 함수의 경우 항상 있습니다.
(4) 그 당시, 그렇다면;
둘째, 로그 함수
(a) 로그
1. 로그의 개념: 일반적으로, 그렇다면, 숫자는 밑수가 되는 로그라고 하는데, (-밑수,-진수,-대수식)
설명: ○1 밑수의 제한에주의를 기울이고;
○ 2;
○3 로그 쓰기 형식 주의 ..
두 가지 중요한 로그:
○1 일반적으로 사용되는 로그: 기준 10 로그;
○2 자연 로그: 무리수를 기준으로 한 로그의 로그 ..
2, 로그 및 지수 상호 화
대수식 지수