원리 1: 테스트 중인 시스템의 가능한 모든 상태는 분리 가능한 힐베르트 공간으로 설명됩니다. 개념 1: 힐베르트 공간. 완전한 복합 내적 공간을 힐베르트 공간(Hilbert space)이라고 합니다. 내적은 선형 공간에 대한 양의 정부호, ***요크 대칭, 반***요크 선형 및 반선형 이진 함수입니다. 이는 직교성, 길이 및 위상을 가져옵니다. 무한 차원 공간의 경우 토폴로지는 공간의 구조를 결정합니다. 불완전한 공간에 구멍이 있는지 여부를 알 수 있습니다. 구멍을 채워야 다음이 가능합니다. 직교 회귀
모든 상태 벡터를 기반으로 확장할 수 있는 기반입니다. 2. 모든 상태 벡터는 제한된 선형 함수 일대일에 해당합니다. 이것이 완전성입니다. 이러한 보장이 없으면 어떤 상태도 일부 기본 상태의 중첩으로 표현할 수 없으며 왼쪽 벡터와 오른쪽 벡터가 일대일 대응이라고 생각할 수도 없습니다. 개념 2: 나눌 수 있음. 셀 수 있는 조밀한 부분 집합이 있는 위상 공간을 분리 가능하다고 합니다. 셀 수 있다는 것은 유한하거나 자연수와 일대일 매핑을 설정할 수 있음을 의미합니다. 이 집합은 무한하지만 첫 번째, 두 번째, 세 번째부터 시작하여 요소를 하나씩 배열하고 무한정 계속할 수 있습니다. 정수는 셀 수 있고, 유리수는 셀 수 있고, 대수는 셀 수 있고, 실수는 셀 수 없습니다. 조밀하다는 것은 이 세트의 폐쇄가 공간 전체라는 것을 의미한다. 거리 공간의 경우 밀도는 임의의 점 A와 임의의 작은 거리 d에 대해 이 세트에서 A로부터의 거리가 d보다 작은 점을 찾을 수 있는 것과 동일합니다. 유리수는 실수 사이에 조밀하므로 실수는 분리 가능합니다. 분리 가능한 힐베르트 공간은 항상 셀 수 있는 정규화된 직교 베이스를 가지며, 항상 모든 베이스에 직교하지 않는 벡터가 있습니다. 분리 불가능한 힐베르트 공간은 셀 수 없는 수의 직교 정규화된 베이스를 가지지만, 어떤 벡터도 기껏해야 셀 수 있는 수의 베이스와 직교하지 않습니다. 즉, 분할 가능한 공간에서만 모든 베이스의 구성 요소가 0이 아닌 상태 벡터가 있다고 감히 주장할 수 있습니다! 개념 3: 상태 벡터와 상태 분리 가능한 힐베르트 공간 힐베르트 공간의 모든 벡터를 상태 벡터라고 하며 *** 선의 상태 벡터는 동일한 상태를 나타냅니다. |X>와 k|X>는 동일한 상태입니다. 0이 아닌 벡터가 있는 모든 벡터 | 원리 2: 관찰 가능한 물리량은 힐베르트 공간에서 조밀하게 한정된 자기 수반 연산자로 설명될 수 있습니다. 오른쪽 벡터(힐베르트 공간의 점)와 왼쪽 벡터(힐베르트 공간의 경계 선형 함수)는 일대일 대응이므로 연산자 A에 대해 다음과 같은 연산자 B가 있는지 질문할 수 있습니다. : 이 B를 A의 부속 연산자라고 하며 로 표시합니다. 여기서 D(B)는 B의 도메인입니다. 함수에 정의역이 있는 것처럼 연산자에도 정의역이 있습니다. 연산자의 정의역이 전체 공간의 조밀한 부분공간인 경우 해당 연산자를 조밀하게 정의되었다고 합니다. 조밀한 부분공간에는 전체 공간에 대한 기반이 있지만, 이 부분공간은 닫힌 부분공간이 아니기 때문에 허점이 있습니다. 내부 곱을 재정의하면 A의 영역은 원래 내부 곱에 따라 닫혀 있지 않지만 이 새로운 내부 곱에 대해서는 닫혀 있을 수 있습니다. 그렇다면 A가 닫혀 있다고 합니다. A가 A'보다 약간 크지만 A'의 도메인 D(A')에서 A와 A'는 동일합니다. 즉, D(A')의 모든 벡터에 작용할 때 동일한 결과를 갖습니다. 우리 A'는 A의 부분 연산자라고 합니다. 동일한 정의역을 갖고 해당 정의역의 벡터에 작용한 후 동일한 결과를 갖는 경우 두 연산자는 동일합니다. 대칭 연산자는 수반 연산자의 일부임을 의미합니다. 자체 수반 연산자는 수반 연산자와 동일합니다. 물리학에서의 "에르미트 연산자"는 말 그대로 수학에서의 "대칭 연산자"를 의미하지만, 물리학 서적에서는 연산자의 정의 영역에 크게 관심을 기울이지 않고 "에르미트 연산자"가 실수 값, 즉 " 물리학 서적에 나오는 '에르미트 연산자'는 자기 수반 연산자로 이해해야 합니다. 원리 3: 물리량의 관측값은 스펙트럼 지점입니다. 물리량의 관측값이 집합 X에 있을 확률은
자기 수반 연산자, 즉 물리량의 경우 잔여 스펙트럼은 빈 집합이므로 점 스펙트럼과 연속 스펙트럼만 있고, 그 스펙트럼 집합은 실수 집합의 부분 집합이다. 개념 2: 스펙트럼 패밀리 트리 패밀리는 대수 집합을 힐베르트 공간의 직교 투영 연산자에 매핑하는 매핑입니다. 투영 연산자는 만족하는 연산자입니다. 자기 수반 투영 연산자는 직교 투영 연산자라고 하며 0 연산자를 제외하면 경계는 1입니다. 스펙트럼군은 세 가지 특성을 충족합니다. 1. 모든 셀 수 있는 서로소 집합은 이를 충족합니다. 2. 빈 집합의 스펙트럼군은 0 연산자와 같습니다. 3. 전체 집합의 스펙트럼군은 항등 연산자와 같습니다. 두 직교 투영 연산자의 합은 곱이 0인 경우에만 투영 연산자입니다. 개념 3: 자기 수반 연산자에 해당하는 계보 가족 수학자 폰 노이만(그렇습니다. 나중에 컴퓨터 작업을 한 사람)은 조밀하게 결정된 자기 수반 연산자 A가 다음과 같이 고유한 계보 가족에 해당함을 증명했습니다. 적분 공간은 연산자 A의 스펙트럼 세트입니다. 이것과 측정된 시스템의 정규화된 상태 벡터 |x>는 확률 측도를 구성합니다. 이 확률은 시스템이 |x> 상태에 있을 때 물리량 A의 측정된 값이 X에 있을 확률입니다. Von Neumann의 저서 "양자 역학의 수학적 원리"는 자기 수반 연산자의 스펙트럼 분해에 대해 논의하고 양자 역학에 엄격한 수학적 기초를 제공합니다. 원칙 4: |x>에 설명된 상태의 시스템은 결과를 관찰한 후 상태가 됩니다. 이 과정을 양자 상태 붕괴라고 합니다. 모든 시스템을 관찰하려면 재료 도구를 사용해야 하기 때문에 양자 상태 붕괴는 이상주의와 아무런 관련이 없습니다. 관찰 과정에서 탐지 장비는 필연적으로 측정 중인 시스템과 상호 작용합니다. 입자의 스핀을 관찰하려면 외부 자기장이 적용되어야 하며 입자의 에너지와 운동량을 관찰하려면 다른 입자와 충돌해야 합니다. 관찰 결과는 반드시 실수일 필요는 없지만 관찰에는 항상 오류가 있기 때문에 실수의 집합일 수도 있습니다. 공간이 불연속적이라면 두 점을 구별하기에 충분한 척도를 찾을 수 없다는 의미입니다. 그래서 입자의 위치를 측정할 때 항상 오류가 발생하게 됩니다. 이는 물리량 위치에 해당하는 자기 수반 연산자에는 점 스펙트럼이 없고 연속 스펙트럼만 있음을 의미합니다. 원칙 5: 시스템에 대한 모든 작업은 시스템을 설명하는 상태 벡터의 단일 변환으로 간주될 수 있습니다. 물리학에서의 단위변환을 수학에서는 단위연산자(Unitary Operator)라고 합니다. 연산자 U가 벡터의 내적을 변경하지 않고 유지할 수 있는 경우 이를 등각 연산자라고 하고, 가역 등각 연산자를 단일 연산자라고 합니다. 단일 연산자의 역수는 보조 연산자와 동일하며, 그 역수도 단일 연산자입니다. 시간 진화는 또한 단일 변환입니다. 단일성은 무한소 생성기 H가 자기 인접형이어야 하며 이는 자연스럽게 슈뢰딩거 방정식으로 이어집니다. 원리 6: 두 개의 동일한 입자의 상태를 교환해도 시스템의 상태는 변경되지 않습니다. 입자 대체 연산자는 동일한 입자 시스템에 작용하며 결과는 복소수를 곱하는 것과 동일합니다. 단위성은 이 계수의 계수가 1이어야 합니다. 그 중에서 복소인자가 1인 것을 보존이라 하고, 복소인자가 -1인 것을 페르미온이라 한다. 지금까지 우리는 이 두 가지 유형의 입자만을 보았습니다. 어떤 사람들은 이 요소가 다른 복소수일 수도 있다고 추측합니다.