수학의 세 가지 문제점
1980년대 초 우리 세대는 더 많은 지식을 배우기 위해 '5대 전공'을 차례로 공부했고, 그런 다음 추가 연구를 위해 "성인 수학"자습"에 들어갔습니다. 제가 Southwestern University of Finance and Economics에서 고급 수학 대면 수업에서 경제학을 공부할 때 존경받는 한 강사가 우리에게 이렇게 말했습니다. 인류 문명의 발전은 수학의 발전에 정비례합니다. 수학은 중국에서도 성취되었습니다. 고대의 조상 Chong과 오늘날의 Hua Luoeng으로 거슬러 올라갑니다. 21세기에도 전국 각지의 청년 지망생 여러분이 여기 앉아 계십니다.
그러자 강사는 “고대 수학 역사상 세상에는 세 가지 주요 문제가 있다(두 배의 세제곱, 정사각형 원, 세 번째 각). 현대 수학의 역사에는 다섯 번째 공리인 페르마의 마지막 정리와 두 소수의 합을 표현하는 큰 짝수도 있습니다. 이것은 이전 세대가 깨뜨린 것이고, 돌파할 사람은 돌파할 것이다. 현대 선진국의 수학자들은 무엇을 공부하고 있나요? 21세기 수학 엘리트들은 무슨 일을 하고 있을까?
강사는 현대 수학의 세 가지 주요 문제점에 대해 계속해서 이야기했습니다. 첫째, 고대 로마와 고대 그리스는 16세기에 16열의 배열을 완성했습니다. 가우시안 추측은 19세기에 18줄로 나눌 수 있는데, 19세기에 미국의 로이드가 이 추측을 완성했는데, 20세기 말에는 두 명의 컴퓨터 명인이 20줄의 기록을 완성하게 된다. 21세기?
둘째, 이웃한 두 국가가 서로 다른 색상으로 칠해져 있습니다. 지도를 색칠하는 데는 몇 가지 색상을 사용할 수 있나요? 5가지 색상은 증명되었으나, 4가지 색상은 미국의 Appel과 Haken에 의해서만 증명되었으며, 전자컴퓨터를 통해 하나하나 완성되어 종합적인 논리적, 인위적 추론 증명은 이루어지지 않았습니다. 의지가 있는 사람에 의해 결정됩니다.
셋째, 어떤 3명 중에도 동성인 2명이 있어야 하고, 6명 중에 3명은 서로를 알거나 모르는 사람이 있어야 한다는 것을 증명할 수 있습니다( 아는 것은 빨간색 선으로 연결되고, 모르는 것은 파란색 선으로 연결됩니다. 즉, 여섯 가지 물질 점 중 두 가지 색상의 선을 연결하면 단색 삼각형이 나타납니다. 최근에는 국제수학올림피아드에서도 이런 뜨거운 주제를 중심으로 예비군을 선발했다. (예를 들어 17명의 과학자가 세 가지 주제를 토론하고 하나의 주제를 쌍으로 토론한다면 적어도 세 명의 과학자가 같은 주제를 토론한다는 것을 증명하고, 18개의 점이 두 가지 색상으로 연결되면 단색 사각형이 나타나고, 여섯 개의 점이 두 가지 색상이 연결되면 두 개의 단색 사각형이 나타납니다. 색 삼각형 등) 단색 삼각형 연구에서 특히 단색 삼각형이 없는 극값 맵에 대한 연구는 가장 어려운 지점이자 가장 인기가 있습니다.
나무 심기 문제, 4색 지도 그리기 문제, 단색 삼각형 문제로 요약할 수 있습니다. 현대 수학의 3대 문제로 흔히 알려져 있다.
당시 대학생들이 한 학기에 튜터의 강의를 들을 수 있는 시간은 10번도 채 되지 않았습니다. 수학의 세 가지 주요 문제는 교실에서 학생들에게 가장 잊을 수 없고 흥미로운 수업입니다. 시간은 빠르게 흐르고 눈 깜짝할 사이에 벌써 21세기의 첫 번째 시대가 되었습니다(다음 시대를 구별하기 위해 - 1910년대). 여기서 저는 대학 공부에서 가장 흥미롭고 잊을 수 없는 수업을 바치고 싶습니다. , 다양한 수준과 취미의 독자를 수용합니다.
'천수자 문제' 중 하나: P(다항식 알고리즘) 문제 대 NP(비다항식 알고리즘) 문제
토요일 밤에 당신은 성대한 파티에 참석했습니다. 불안한 마음에 혹시 이 홀에 아는 사람이 있는지 궁금합니다. 호스트는 디저트 접시 근처 구석에 있는 로즈 부인을 꼭 알아야 한다고 제안합니다. 당신은 그곳을 훑어보고 당신의 주인이 옳았다는 것을 확인하는 데 1초도 걸리지 않습니다. 하지만 그런 힌트가 없다면 홀을 둘러보며 모두를 한 명씩 살펴보고 아는 사람이 있는지 확인해야 합니다. 문제에 대한 솔루션을 생성하는 것은 일반적으로 주어진 솔루션을 검증하는 것보다 훨씬 더 많은 시간이 걸립니다. 이것이 일반적인 현상의 예입니다. 마찬가지로, 누군가가 13,717,421이라는 숫자가 두 개의 작은 숫자의 곱으로 쓰여질 수 있다고 말한다면, 당신은 그를 믿어야 할지 말지 알 수 없을 것입니다. 그러나 그가 그것이 3803에서 3607로 인수분해될 수 있다고 말한다면, 소형 계산기를 사용하여 이것이 정확한지 쉽게 확인할 수 있습니다. 우리의 프로그램 작성 능력과 상관없이 내부 지식을 사용하여 답을 신속하게 확인할 수 있는지 또는 그러한 힌트가 없어 해결하는 데 많은 시간이 걸리는지 여부를 결정하는 것은 논리 및 컴퓨터 분야에서 가장 뛰어난 문제 중 하나로 간주됩니다. 과학. 1971년 스티븐 쿡이 이렇게 말했습니다.
"천자문 문제" 2부: 호지 추측
20세기 수학자들은 복잡한 물체의 모양을 연구하기 위한 강력한 방법을 발견했습니다. 기본 아이디어는 크기가 증가하는 단순한 기하학적 빌딩 블록을 함께 접착하여 주어진 물체의 모양을 어느 정도까지 형성할 수 있는지 묻는 것입니다. 이 기술은 다양한 방식으로 일반화될 수 있을 정도로 매우 유용해졌으며, 결국 수학자들이 연구 과정에서 접하는 다양한 대상을 분류하는 데 큰 성공을 거둘 수 있는 몇 가지 강력한 도구로 이어졌습니다. 불행하게도 이 일반화에서는 프로그램의 기하학적 시작점이 흐려집니다. 어떤 의미에서는 기하학적 해석이 없는 특정 구성 요소를 추가해야 합니다. Hodge 추측은 투영 대수적 다양성이라고 불리는 특히 완벽한 유형의 공간에 대해 Hodge 폐쇄라고 불리는 구성요소는 실제로 대수적 폐쇄라고 불리는 기하학적 구성요소의 (유리 선형) 조합이라고 주장합니다.
"천자 문제" 3번: 푸앵카레의 추측
사과 표면에 고무줄을 늘이면 찢어지지 않고 할 수 있습니다. 표면을 벗어나면 천천히 움직이며 한 지점으로 줄어들게 됩니다. 반면, 동일한 고무밴드가 타이어 트레드 위에서 적절한 방향으로 늘어나고 수축된다고 상상한다면, 고무벨트나 타이어 트레드가 찢어지지 않고는 어느 정도까지 수축될 수 없습니다. 우리는 사과의 표면이 '단순히 연결되어 있다'고 말하지만, 타이어의 표면은 그렇지 않습니다. 약 100년 전, 푸앵카레는 2차원 구가 본질적으로 단순 연결성으로 특징지어질 수 있다는 것을 이미 알고 있었으며, 3차원 구(4차원 공간에서 원점으로부터 단위 거리에 있는 점들의 집합)의 대응 문제를 제안했습니다. ). 문제는 즉시 믿을 수 없을 만큼 어려워졌고, 그 이후로 수학자들은 이 문제를 해결하기 위해 애썼습니다.
"천자 딜레마" 4번: 리만 가설
일부 숫자는 두 개의 작은 숫자의 곱으로 표현할 수 없는 특별한 속성을 가지고 있습니다(예: 2, 3, 5,7 등 이러한 숫자를 소수라고 하며 순수 수학과 그 응용 모두에서 중요한 역할을 합니다. 모든 자연수 중에서 이러한 소수의 분포는 어떤 규칙적인 패턴도 따르지 않습니다. 그러나 독일 수학자 리만(1826~1866)은 소수의 빈도가 조심스럽게 구성된 소위 리만 자이타르 함수(Riemann Zeitar function)와 밀접한 관련이 있음을 관찰했습니다. of z(s$. 유명한 리만 가설은 방정식 z(s)=0에 대한 모든 의미 있는 해가 직선 위에 있다고 주장합니다. 이는 처음 1,500,000,000개의 해에 대해 검증되었습니다. 모든 해에 대해 이것이 사실임을 증명하십시오. 의미 있는 해결책은 소수 분포를 둘러싼 많은 미스터리를 밝힐 것입니다.
"천자 문제" 5부: 양밀스의 존재와 질량 격차
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뉴턴의 고전 역학 법칙이 거시적 세계에 적용되는 것과 같은 방식으로 양자 물리학의 법칙이 소립자 세계에 적용됩니다. 약 반세기 전에 Yang Zhenning과 Mills는 양자 물리학이 소립자 물리학 사이의 관계를 드러낸다는 사실을 발견했습니다. 그럼에도 불구하고, 양-밀스(Yang-Mills) 방정식을 기반으로 한 예측은 유럽의 브록헤이븐(Brockhaven), 스탠포드(Stanford) 연구소에서 수행된 고에너지 실험에서 확인되었습니다. 특히 무거운 입자를 설명하는 수학적으로 엄격한 방정식은 알려진 해결책이 없으며 "쿼크"에 대한 연구에서 대부분의 물리학자들에 의해 확인되었습니다. 이 문제는 물리적으로나 수학적으로나 근본적으로 새로운 아이디어의 도입을 요구합니다.
"천자 문제" No. 6: 나비에-스토크스 방정식의 존재와 부드러움
기복이 심한 파도가 호수를 따라 흐르고, 격동적인 공기가 현대 제트기의 비행을 따릅니다. 수학자 및 물리학자들은 나비에-스토크스 방정식을 이해하면 바람과 난기류를 모두 해결할 수 있다고 확신합니다. 19세기에도 이에 대한 우리의 이해는 여전히 매우 적습니다. - 스톡스 방정식의 미스터리
"천자 문제" No. 7: Birch and Swinnerton-Dyer 추측
수학자들은 x^2+y^2=z^2와 같은 대수 방정식에 대한 모든 정수 해를 특성화하는 문제에 항상 매료되어 왔습니다. Euclid는 한때 이 방정식에 대한 완전한 해를 제공했지만 더 복잡한 방정식의 경우 이는 다음과 같습니다. 실제로 Yu.V. Matiyasevich가 지적했듯이 Hilbert의 열 번째 문제는 해결이 불가능합니다. 즉, 해가 Abelian의 점인 경우에는 그러한 방법을 결정하는 일반적인 방법이 없습니다. 다양한 경우, Behe 및 Sweineton-Dyer 추측은 유리점 그룹의 크기가 근처 지점 s=1 동작에서 Zeita 함수 z(s)와 관련이 있다고 주장합니다. 특히, 이 흥미로운 추측은 z(1)이 0과 같으면 무한히 많은 유리점(해)이 있고, 반대로 z(1)이 0과 같지 않으면 유한한 수만 존재한다는 것입니다. 그런 점들 중.